حالت های خاص در معیار پایداری راث هرویتز

حالت های خاص در معیار پایداری راث هرویتز:
در بررسی معیار پایداری راث هرویتز، ممکن است با مواردی خاص در آرایه مواجه شویم که در ادامه، این حالت ها را توضیح می دهیم.

صفر شدن همه درایه های یک سطر:
اگر همه عناصر یک سطر صفر باشند، از سطر قبلی آن به عنوان چندجمله ای کمکی استفاده می کنیم. به این ترتیب که داریه ها، ضرایب چندجمله ای کمکی هستند.

ریشه های معادله کمکی، محل دقیق ریشه های مزدوج مختلط را تعیین می کنند که روی محور j ω قرار دارند. البته نکته مهم این است که اگر ریشه تکراری روی محور موهومی وجود داشته باشد، سیستم ناپایدار خواهد بود. بنابراین، باید از چندجمله ای کمکی برای تعیین تکراری بودن یا نبودن ریشه ها استفاده کنیم.

در این فرایند، باید از معادله کمکی نسبت به s مشتق گرفت و ضرایب معادله حاصل را با درایه های صفر سطر اصلی جایگزین کرد. ادامه آرایه راث با استفاده از مقادیر جدید محاسبه می شود.

صفر شدن درایه ستون اول یک سطر:
در این حالت خاص، درایه اول یک سطر برابر با صفر است. در این حالت، متغیر کوچک اپسیلن (ϵ) را جایگزین صفر کرده و محاسبات را ادامه می دهیم.

بعد از آنکه کل آرایه تشکیل شد، می توانیم مقدار ϵ را به صفر میل داده و مقدار حدی را محاسبه کنیم. اگر علامت درایه بالای ϵ مشابه با علامت درایه زیر آن باشد، یعنی یک ریشه موهومی محض داریم.

مثال 1:
محل ریشه های معادله مشخصه زیر را بررسی کنید.

حل: آرایه راث به صورت زیر است:

همان طور که می بینیم، با حالت خاص صفر شدن همه درایه های یک سطر مواجه هستیم. بنابراین از معادله کمکی کمک می گیریم. همان گونه که گفتیم، معادله کمکی را با استفاده از سطر قبل از سطر صفر تشکیل می دهیم.

بنابراین، معادله کمکی را به صورت زیر می نویسیم (به توان ها و ضرایب متغیرها در معادله کمکی دقت کنید):

معادله کمکی بالا، دو ریشه روی محورjω دارد.

اکنون برای آنکه محاسبات مربوط به آرایه راث را ادامه دهیم، از معادله کمکی مشتق گرفته و ضرایب آن را در سطری قرار می دهیم که صفر است.

مشتق معادله کمکی به صورت زیر است:

سطر جدید در آرایه راث بالا نشان داده شده است. می بینیم که دو ریشه مزدوج روی محور موهومی، وجود دارد و سایر ریشه ها سمت چپ هستند.

مثال 2:
تعداد ریشه های سمت راست محور موهومی مربوط به معادله زیر را تعیین کنید.

حل: آرایه راث به صورت زیر است. همان طور که می بینیم، درایه اول یک سطر صفر شده است. این درایه را با ϵ جایگزین کرده و محاسبات را ادامه می دهیم.

با میل دادن ϵ به صفر، می بینیم که دو بار تغییر علامت در ستون اول جدول راث خواهیم داشت. بنابراین، دو ریشه در سمت راست محور موهومی وجود دارد.