آزمون های راث هرویتز

آزمون های راث هرویتز:

در اینجا، سه آزمون یا قاعده معیار راث هرویتز را بیان می کنیم. برای سادگی، فرض می کنیم درجه چندجمله ای (بزرگ ترین توان s درD(s))N باشد. معادلهD(s) را می توان به فرم عمومی زیر نوشت:

قاعده 1: همه ضرایب ai باید غیرصفر باشند.

قاعده 2: همه ضرایب ai باید مثبت باشند (یا همه آن ها منفی باشند).

قاعده 3: اگر قاعده 1 و قاعده 2، هر دو برقرار باشند، آن گاه آرایه راث را برای ضرایب ai تشکیل می دهیم. به ازای هر یک تغییر علامت در درایه های ستون اول آرایه راث، یک قطب در سمت راست صفحه s وجود دارد (اگر تغییر علامت داشته باشیم، سیستم ناپایدار خواهد بود).

آرایه راث به صورت زیر تشکیل می شود.

آرایه راث:
آرایه راث با قرار دادن ضرایب ai چندجمله ای D(s) در کنار هم (و مطابق چینش زیر) تشکیل می شود. ستون آخر این آرایه را برابر صفر قرار می دهیم.

از آرایه بالا مشخص است که اگر N فرد باشد، سطر اول فقط شامل ضرایب توان های جملات فرد چندجمله ای است و اگر N زوج باشد، ضرایب زوج، سطر اول را تشکیل می دهند.

از سطرهای بعدی (از سوم و بعد از آن) آرایه راث را به صورت زیر تکمیل می کنیم:

که در آن، ضرایب جدید به صورت زیر به دست می آیند:

و

تکمیل آرایه را تا جایی ادامه می دهیم که به سطر s0 برسیم.

برای هر سطری که محاسبه می کنیم، درایه انتهایی سمت چپ سطر قبلی را عنصر محوری آن می نامیم. برای مثال، در سطر b، عنصر محوری aN−1 و در سطر c عنصر محوری bN−1 است. برای به دست آوردن هر درایه، حاصل دترمینان زیر را قرینه کرده و بر عنصر محوری تقسیم می کنیم:

که در آن:

• kدرایه انتهایی سمت چپ دو سطر بالاتر از سطر فعلی؛
• l عنصر محوری؛
•  m درایه دو سطر بالاتر و ستون سمت راست ستون فعلی؛
• وnدرایه مشترک یک سطر بالاتر و یک ستون سمت راست درایه فعلی است.

معادله مربوط به درایه مورد نظر به صورت زیر است:

مثال 1:
در این مثال می خواهیم مقدار CN−3 را محاسبه کنیم. ابتدا باید مقادیر k، l، m و n را تعیین کنیم:

• kدرایه انتهایی سمت چپ دو سطر بالاتر از سطر فعلی است:aN−1.
• lعنصر محوری و درایه انتهایی سمت چپ یک سطر بالاتر است:bN−1.
• mدرایه دو سطر بالاتر و ستون سمت راست ستون فعلی است:aN−5.
• nداریه مشترک یک سطر بالاتر و یک ستون سمت راست درایه فعلی است:bN−5.

با قرار دادن مقادیر فوق در فرمول CN−3، داریم: