تعریف اندوکتانس سیم پیچ

تعریف اندوکتانس سیم پیچ:
زمانی که نیرو محرکه الکتریکی درون یک سیم به واسطه تغییر میدان مغناطیسی القا شده در سیم مجاور باشد، «القای متقابل» (Mutual-Induction) به وجود می آید.

القای متقابل اساس کار ترانسفوروماتورها، موتورها، رله های الکتریکی و … را تشکیل می دهد.

خود القایی، حالتی خاص از القای متقابل است که درون یک مدار ایزوله اتفاق می افتد و عموما به آن اندوکتانس (Inductance) می گویند.

واحد اندازه گیری اندوکتانس، به افتخار «جوزف هانری» (Joseph Henry)، هانری (H) نامگذاری شده است. یک هانری، برابر با یک وبر بر آمپر (1H=1Wb/A) است.

با توجه به قانون لنز می دانیم که نیرو محرکه القایی باعث به وجود آمدن یک جریان خواهد شد. بر اساس قانون کنش و واکنش، این جریان با تغییرات شار الکتریکی که باعث تولید نیرو محرکه الکتریکی القایی شده است مخالفت می کند.

بنابراین اگر بخواهیم تعریف دقیقی از اندوکتانس ارائه دهیم، می توان گفت: «زمانی که تغییر جریان سیم پیچ به اندازه یک آمپر بر ثانیه باعث القا شدن یک نیرو محرکه الگتریکی یک ولتی در سیم پیچ شود، اندوکتانس آن سیم پیچ یک هانری خواهد بود».

به عبارت دیگر، زمانی که جریان عبوری از سیم پیچ با سرعت یک آمپر بر ثانیه (A/s) تغییر کند، اندوکتانس سیم پیچ یک هانری (1H) است.

این تغییر باعث القا شدن ولتاژی به اندازه یک ولت در سیم پیچ می شود. بنابراین، نمایش ریاضی تغییر جریان سیم پیچ بر حسب زمان به صورت زیر است:

که در آن، di تغییرات جریان بر حسب آمپر و dt مدت زمان این تغییرات بر حسب ثانیه است. بنابراین، ولتاژ القا شده در یک سیم پیچ (VL) با اندوکتانس L به صورت زیر است:

باید دقت کرد که علامت منفی نشان می دهد که ولتاژ القا شده مخالف تغییرات جریان سیم پیچ در واحد زمان (didt) است.

به توجه به معادله بالا، اندوکتانس یک سیم پیچ به صورت زیر محاسبه می شود:

که در آن، L اندوکتانس بر حسب هانری، V L ولتاژ عبوری از سیم پیچ و di/dt تغییرات جریان بر حسب آمپر بر ثانیه است.

اندوکتانس، در واقع نشان دهنده مقاومت سلف نسبت به تغییر جریان درون آن است. هرچه مقدار اندوکتانس (هانری) سلف بیشتر باشد، نرخ تغییرات جریان آن نیز کمتر است و هرچه مقدار اندوکتانس یک سلف کمتر باشد، نرخ تغییرات جریان آن بیشتر خواهد بود.

همانطور که می دانیم، سلف ها انرژی را به صورت میدان مغناطیسی در خود ذخیره می کنند. سلف ها از یک سیم پیچیده شده به دور یک هسته ساخته می شوند.

هرچه تعداد دور سیم بیشتر باشد، به ازای اعمال یک جریان یکسان، شار مغناطیسی قوی تری تولید خواهد شد.

بنابراین، با افزایش تعداد دور سیم پیچ، اندوکتانس آن افزایش می یابد. رابطه بین خودالقایی (L) و تعداد دور (N) در سیم پیچ به صورت زیر است:

که در آن، L بر حسب هانری، N تعداد دورها، Φ شار مغناطیسی و I جریان بر حسب آمپر است.

همچنین، این فرمول را می توان به صورت پیوند شار مغناطیسی (NΦ) تقسیم بر جریان در نظر گرفت؛ با این فرض که مقدار جریان ثابتی از هر دور سیم پیچ عبور می کند. باید دقت کرد که این فرمول تنها در مورد مواد مغناطیسی خطی به کار می رود.

مثال 1:
یک هسته توخالی را در نظر بگیرید که یک سیم مسی 500 بار دور آن پیچانده شده است. زمانی که جریانی DC به اندازه 10 آمپر از سیم پیچ عبور می کند، شار مغناطیسی 10mWb  تولید می شود. خودالقایی سیم پیچ را بر حسب میلی هانری محاسبه کنید.

حل:

خودالقایی یک سیم پیچ یا به طور دقیق تر، ضریب خودالقایی سیم پیچ، به ویژگی های ساخت (برای مثال اندازه، طول، تعداد دورهای سیم پیچ و…) آن بستگی دارد. بنابراین، با استفاده از هسته ای با ضریب نفوذ بالا و تعداد دور زیاد، امکان ساخت اندوکتانس با ضریب خودالقایی بالا نیز ممکن است.

شار مغناطیسی که در هسته داخلی یک سیم پیچ ایجاد می شود برابر است با:

که در آن Φ شار مغناطیسی، B چگالی شار و A مساحت مقطع هسته است.

اگر سیم پیچ، یک سلونوئید بلند با تعداد N دور در هر متر فضای آزاد (هوا) باشد، القای مغناطیسی درون هسته به صورت زیر است:

بنابراین، با جایگزینی عبارت بالا در Φ=B.A داریم:

که در آن، L بر حسب هانری، μ0 ضریب نفوذپذیری فضای آزاد(4×π×10−7)، N تعداد دورها، A مساحت سطح مقطع هسته (πr2) بر حسب متر مربع و l طول هسته بر حسب متر است.

از آنجایی که اندوکتانس سیم پیچ به دلیل شار مغناطیسی اطراف آن ایجاد شده است، هرچه شار مغناطیسی برای یک مقدار مشخصی از جریان، بزرگ تر باشد، اندوکتانس نیز بیشتر خواهد شد.

بنابراین، یک سیم پیچ با تعداد دور بیشتر، اندوکتانس بزرگ تری نسبت به همان سیم پیچ با تعداد دور کمتر دارد.

این قانون در فرمول بالا با مقدار N2 نشان داده شده است. مشاهده می شود که اندوکتانس با مجذور تعداد دور سیم پیچ رابطه مستقیم دارد.

برای افزایش اندوکتانس، علاوه بر زیاد کردن تعداد دور سیم پیچ، می توان از افزایش قطر سیم پیچ یا طولانی تر کردن طول هسته استفاده کرد.

در هر دو حالت، به سیم بیشتری برای ساخت هسته نیاز داریم. در نتیجه خطوط نیروی بیشتری برای تولید نیرو محرکه القایی معکوس وجود خواهد داشت.

اگر هسته داخلی سیم پیچ از مواد فرومغناطیسی مانند آهن نرم، کبالت یا نیکل ساخته شود، اندوکتانس سیم پیچ نسبت به هسته هوا بیشتر خواهد بود.

از آنجایی که این مواد، خطوط نیرو را از طریق هسته نرم فرومغناطیسی متمرکزتر خواهند کرد، با اعمال جریان یکسان به سیم پیچ، شار مغناطیسی بسیار بیشتری تولید می کنند.

برای مثال، اگر ضریب نفوذپذیری نسبی ماده به کار رفته در هسته، 1000 برابر بزرگ تر از هوی آزاد باشد (1000μ0)، اندوکتانس سیم پیچ 1000 برابر بزرگ تر خواهد بود. بنابراین، می توان گفت که اندوکتانس یک سیم پیچ متناسب با ضریب نفوذپذیری هسته است.

بنابراین در فرمول اندوکتانس که در بالا گفته شد، باید به جایμ0، ضریب نفوذپذیری جنس هسته سیم پیچ (μr) را قرار دهیم.

اگر سیم پیچ بر روی یک هسته با جنس فرومغناطیس پیچیده شود، از آنجایی که ضریب نفوذپذیری آن با چگالی شار تغییر خواهد کرد، اندوکتانس افزایش می یابد.

البته، بر حسب نوع ماده فرومغناطیسی به کار رفته، ممکن است شار مغناطیسی هسته داخلی سریعا به اشباع برسد.

در این حالت، اندوکتانس به صورت غیر خطی تولید خواهد شد. از آنجایی که چگالی شار اطراف سیم پیچ به جریان عبوری از آن بستگی دارد، اندوکتانس (L) تابعی از این جریان (i) است.