گرامیان دسترسی پذیری و کنترل پذیری

گرامیان دسترسی پذیری و کنترل پذیری:
گرامیان ها (Gramian) توابع ریاضی پیچیده ای هستند که از آن ها در تعیین ویژگی های مشخصی برای سیستم استفاده می شود؛ بدین صورت که گرامیان ها برای تعیین کنترل پذیری یا دسترسی پذیری سیستم مورد استفاده قرار می گیرند.

از آن جایی که گرامیان ها از سایر روش ها پیچیده اتر هستند، تنها زمانی از آن ها استفاده می کنیم که سایر روش های تحلیل سیستم با شکست مواجه شوند یا اینکه انجام آن ها دشوار باشد.

بُعد گرامیان هایی که در اینجا معرفی می شود، برابر با بعد ماتریس سیستم A، یعنیp×p، است و آن ها را در فرم عمومی سیستم های تغییر پذیر با زمان خطی می نویسیم. برای نوشتن آن ها در قالب سیستم های خطی تغییر ناپذیر با زمان (LTI)، جایگزینی های زیر را انجام می دهیم:

که در آن، ϕ′ ترانهاده ϕ است.

گرامیان دسترسی پذیری با انتگرال زیر تعریف می شود:

سیستم دسترسی پذیر است، اگر رتبه گرامیان دسترسی پذیری برابر با رتبه ماتریس سیستم باشد:

گرامیان کنترل پذیری:

گرامیان کنترل پذیری سیستم (A,B) به صورت زیر تعریف می شود:

سیستم کنترل پذیر است، اگر رتبه گرامیان کنترل پذیری برابر با رتبه ماتریس سیستم باشد:

اگر سیستم تغییرناپذیر با زمان باشد، دو نکته مهم وجود خواهد داشت: اول اینکه گرامیان دسترسی پذیری و گرامیان کنترل پذیری به یک معادله منجر خواهند شد.

بنابراین، در سیستم های LTI، کافی است یکی از گرامیان ها را پیدا کنیم. دومین نکته این است که گرامیان کنترل پذیری را می توان با حل معادله لیاپانوف زیر نیز به دست آورد:

با استفاده از معادله اخیر می توانیم گرامیان کنترل پذیری را با استفاده از توابع موجود محاسبه کنیم.