قضیه پوئینتینگ در فیزیک

قضیه پوئینتینگ در فیزیک:
در فیزیک الکتریسیته و مغناطیس و به طور کلی نظریه الکترومغناطیسی، قضیه پوئینتینگ بیان کننده پایستگی انرژی (Conservation of Energy) در میدان های الکتریکی و مغناطیسی است.

می توان قضیه پوئینتینگ را مشابه قضیه کار و انرژی در فیزیک مکانیک دانست که از لحاظ فرمول بندی ریاضی همانند معادله پیوستگی است.

به عبارت دیگر، قضیه پوئینتینگ تغییرات انرژی ذخیره شده در میدان های الکترومغناطیسی را به کار انجام شده روی چگالی بار الکتریکی و شار انرژی مربوط می کند. قضیه مذکور به افتخار نام فیزیکدان بریتانیایی «جان هنری پوئینتینگ» (John Henry Poynting) به این نام موسوم شد.

در ادامه این مطلب با ما همراه باشید تا با نحوه به دست آوردن فرم دیفرانسیلی قضیه پوئینتینگ آشنا شویم.

انرژی الکترومغناطیسی:
همان طور که در مقاله «انرژی موج — از صفر تا صد» دیدیم، میدان های الکتریکی و مغناطیسی هر دو می توانند انرژی را در خود ذخیره کنند. این انرژی به صورت چگالی انرژی در واحد حجم تعریف می شود. چگالی انرژی الکتریکی و چگالی انرژی مغناطیسی به صورت زیر بیان می شوند:

بیان کردیم که انرژی الکترومغناطیسی به صورت چگالی انرژی بیان می شود. پس انرژی کل از گرفتن انتگرال حجمی چگالی های انرژی الکتریکی و مغناطیسی به دست می آید. یعنی:

دقت داشته باشید که غالباً در الکترومغناطیس از حرف بزرگ U برای نمایش انرژی کل الکترومغناطیسی و ازحرف کوچک u برای نمایش چگالی انرژی استفاده می کنند.

مقدار انرژی فوق، در واقع بیانگر مجموع کار، برای جمع آوری توزیع بار الکترواستاتیکی در مقابل دافعه کولنی (Coulomb repulsion) و کار لازم برای تولید جریان در برابر نیروی ضد محرکه الکتریکی ست. همچنین توجه داشته باشید که انرژی در کل حجم توزیع شده است.

کار و نیرو لورنتس:
در مقاله «نیروی لورنتس (Lorentz Force) — از صفر تا صد» با نیروی الکترومغناطیسی لورنتس آشنا شدیم و دیدیم که به ذره باردار q که با سرعتv در یک میدان الکترومغناطیسی حرکت می کند، نیروی زیر وارد می شود.

از فیزیک پایه به یاد داریم که کار (ماهیت انرژی) بر حسب ژول، برابر با حاصل ضرب نقطه ای نیرو در جابه جایی است. یعنی:

در اینجاFهمان نیرو لورنتس است.dl که جز دیفرانسیلی طول (جابه جایی) است را می توان به صورت حاصل ضرب سرعت در زمان به شکل زیر نوشت:

از رابطه فوق مشخص است که تنها میدان الکتریکی می تواند کار انجام دهد. به یاد داشته باشید که کار میدان مغناطیسی صفر است.

شکل (2): به بار الکتریکی متحرک در میدان الکترومغناطیسی، نیرو لورنتس وارد می شود.
چگالی جریان الکتریکی و بار الکتریکی به صورت زیر هستند:

با توجه به دو رابطه فوق، معادله (6) به صورت زیر در می آید:

استفاده از قانون آمپر-ماکسول:
در مقاله «قانون آمپر — به زبان ساده» با تعمیم قانون آمپر که به قانون آمپر-ماکسول نیز موسوم است، آشنا شدیم. فرم دیفرانسیلی قانون مذکور به صورت زیر است:

جملهJجریان رسانشی و جمله جریان جابه جایی را توصیف می کند.

شکل (3): شماتیکی از یک ساختار خازنی که قانون آمپر ماکسول را بیان می کند. جریان الکتریکی بین صفحات خازن، از طریق جریان جابه جایی عبور می کند.
با توجه به رابطه (10)، Jرا می توان به صورت زیر نوشت:

برای تشکیل جمله داخل انتگرال در رابطه (9)، نیاز است تا بردارE را در معادله فوق ضرب نقطه ای کنیم. یعنی:

استفاده از قانون القای فارادی
در مقاله «القای فارادی — به زبان ساده» با قانون فارادی آشنا شدیم. همچنین در مقاله «فرم دیفرانسیلی معادلات ماکسول — به زبان ساده» دیدیم که فرم دیفرانسیلی آن به شکل زیر است.

جهت ادامه کار، به سراغ روابط برداری می رویم. برای هر بردار دلخواهEوB رابطه زیر برقرار است.

حال با فرض اینکه دو بردارEوB همان میدان های الکتریکی و مغناطیسی هستند، به راحتی حاصل (معادل) جملهE.(▽×B) در معادله (13)، با استفاده از رابطه ریاضی (15) و قانون فارادی به دست می آید. یعنی:

با جایگذاری رابطه فوق در معادله (13) داریم:

همچنین می توانیم حاصل ضرب نقطه ای برداری هایEوB در مشتق های زمانیشان را به صورت زیر بنویسیم:

با توجه به دو رابطه فوق، رابطه (17) به صورت زیر در می آید.

با استفاده از رابطه فوق و (9) داریم:

جهت ساده نویسی بیشتر با توجه به رابطه (3) و استفاده از قضیه دیورژانس نتیجه می شود:

تعریف بردار پوئینتینگ:
در مقاله «امواج الکترومغناطیسی — از صفر تا صد» با تعریف بردار پوئینتینگ (Poynting vector) آشنا شدید. بردار مذکور، بیانگر انرژی بر واحد زمان و سطح است که توسط میدان الکترومغناطیسی منتقل می شود.

به عبارت دیگر، بردار پوئینتینگ، چگالی شار انرژی یا آهنگ انتقال انرژی بر واحد سطح (وات بر متر مربع) تعریف می شود.

شکل (4): بردار پوئینتینگ هم راستا با بردار انتشارkاست.
نکته قابل توجه در خصوص بردار پوئینتینگ این است که جهت آن، همان جهت انتشار موج الکترومغناطیسی است. بردار مذکور به صورت حاصل ضرب خارجی دوبردارEوB تعریف می شود. یعنی:

با توجه به رابطه فوق، معادله (22) به صورت زیر خلاصه می شود:

با توجه به دو رابطه (3) و (9) معادله فوق به شکل انتگرالی زیر در می آید:

رابطه فوق یا (24)، فرم انتگرالی قضیه پوئینتینگ بوده که بیان می کند تغییرات کار انجام شده روی توزیع بار توسط میدان الکترومغناطیسی (جمله سمت چپ تساوی رابطه 24) برابر است با کاهش انرژی الکترومغناطیسی ذخیره شده در میدان (جمله اول سمت راست تساوی)، منهای انرژی شارش یافته از سطح S که حجم V را در بر می گیرد (جمله دوم سمت راست تساوی).

فرم دیفرانسیلی قضیه پوئینتینگ:
در محاسبات مهندسی، فرم انتگرالی قضیه پوئینتینگ کاربردی نبوده و غالباً از فرم دیفرانسیلی آن استفاده می کنند. می دانیم که کار انجام شده روی بارهای الکتریکی باعث افزایش انرژی مکانیکی آن ها می شود. در نتیجه چگالی انرژی مکانیکیumech را به شکل زیر تعریف می کنیم:

از رابطه (3)، چگالی انرژی الکترومغناطیسی به صورت زیر نتیجه می شود:

با جایگذاری دو رابطه (26) و (27) در قضیه پوئینتینگ (معادله 24) و از استفاده از قضیه دیورژانس، انتگرال سطحی را به انتگرال حجمی تبدیل می کنیم. یعنی:

حال می توانیم عبارت های داخل دو انتگرال را مساوی یکدیگر قرار دهیم. در نتیجه:

همان طور که ملاحظه می کنید، قضیه پوئینتینگ (معادله 24)، مشابه با معادله پیوستگی بار الکتریکی است.