بیان ریاضی مدولاسیون فاز

بیان ریاضی مدولاسیون فاز:
در مطلب مدولاسیون فرکانس در مجله فرادرس، دیدیم که با افزودن انتگرال سیگنال باند پایه به آرگومان (Argument) یک تابع سینوسی یا کسینوسی، می توان یک سیگنال مدوله شده فرکانس را به دست آورد.

در این حالت تابع سینوسی یا کسینوسی، همان سیگنال حامل محسوب می شوند. در نتیجه عبارت زیر برای یک سیگنال مدوله شده فرکانس به دست می آید:

اگر در مدولاسیون فرکانس، به جای افزودن انتگرال سیگنال باند پایه، خود سیگنال باند پایه را به آرگومان تابع سینوسی یا کسینوسی اضافه کنیم، آن گاه این تکنیک را مدولاسیون فاز یا PM می گویند و چنین عملی باعث می شود که فاز سیگنال مدوله شده متناسب با دامنه سیگنال پیام یا باند پایه تغییر کند.

بنابراین، می توان گفت که مدولاسیون فاز در واقع اندکی نسبت به مدولاسیون فرکانس ساده تر است. سیگنال مدوله شده توسط مدولاسیون فاز را می توان به صورت زیر به دست آورد:

در فرمول بالا، xBB(t) سیگنال باند پایه و ωC برابر با فاز سیگنال حامل است.xPM(t) برابر با سیگنال مدوله شده تحت مدولاسیون فاز است.

درست همانند مدولاسیون فرکانس، در مدولاسیون فاز نیز می توانیم شاخص مدولاسیون (Modulation Index) را تعریف کنیم.

از شاخص مدولاسیون می توان استفاده کرد و انحراف فاز را نسبت به تغییرات مقادیر سیگنال باند پایه حساس تر (Sensitive) کرد.

در فرمول زیر از شاخص مدولاسیون در محاسبه سیگنال مدوله شده استفاده شده است:

شباهت بین مدولاسیون فرکانس و مدولاسیون فاز زمانی واضح تر می شود که یک سیگنال باند پایه با یک فرکانس (تک فرکانس) را در نظر بگیریم. فرض کنیم که xBB(t)=sin(ωBBt) باشد، آن گاه انتگرال سیگنال سینوسی، برابر با منفی سیگنال کسینوسی می شود.

البته یک مقدار ثابت نیز وجود دارد که در اینجا می توان از آن صرف نظر کرد. به عبارت دیگر، حاصل انتگرال برابر با یک سیگنال شیفت یافته زمانی سیگنال اصلی می شود.

بنابراین، اگر روی این سیگنال باند پایه، همزمان هم مدولاسیون فاز و هم مدولاسیون فرکانس اعمال کنیم، تنها تفاوتی که ایجاد می شود در این است که سیگنال مدوله شده بین مقدار باند پایه و تغییرات در سیگنال حامل، تنظیم (Alignment) می شود و خود تغییرات یکسان هستند.

این مفهوم در بخش بعدی که به نمودارهای حوزه زمان می پردازیم به صورت واضح تر مشخص خواهد شد.

به یاد داشتن این نکته مهم است که در مدولاسیون فاز با فاز لحظه ای سر و کار داریم، درست همان گونه که در مدولاسیون فرکانس با فرکانس لحظه ای رو به رو هستیم. واژه فاز در مدولاسیون فاز شاید اندکی مبهم باشد.

معنی آشناتر این واژه به حالت اولیه (Initial State) یک سیگنال سینوسی اشاره می کند. به عنوان مثال، یک سیگنال سینوسی نرمال، با مقدار صفر شروع می شود و سپس به سمت مقدار بیشینه خود افزایش می یابد.

یک سیگنال سینوسی که در یک نقطه متفاوت از دوره تناوب خود شروع شود، دارای افست فاز (Phase Offset) خواهد بود. البته می توان فاز را به عنوان یک سهم مشخص از تناوب شکل موج کامل نیز در نظر گرفت.

به عنوان مثال، در فازπ2، یک سیگنال سینوسی یک چهارم از دوره تناوب کلی خود را کامل کرده است.

اما این تفاسیر فاز، کمک زیادی به ما نمی کنند؛ زیرا در تکنیک مدولاسیون فاز، با فازی رو به رو هستیم که به صورت پیوسته در پاسخ به تغییرات سیگنال باند پایه تغییر می کند.

به عبارت دیگر، فاز در یک لحظه مفروض، متناظر با مقدار تابع مثلثاتی در آن لحظه است. می توان تغییرات پیوسته در فاز لحظه ای را به عنوان حرکت سیگنال حامل برای دور شدن و یا نزدیک شدن به حالت قبلی شکل موج دانست.

نکته مهم دیگر که باید به یاد داشته باشیم این است که توابع مثلثاتی مانند سینوس و یا کسینوس، روی زاویه عمل می کنند.

تغییر آرگومان یک تابع مثلثاتی متناظر با تغییر در زاویه است و این خود دلیلی است بر این موضوع که چرا مدولاسیون فاز و مدولاسیون فرکانس هر دو جزو مدولاسیون زاویه محسوب می شوند.