محاسبه ولتاژ متوسط به روش عددی

محاسبه ولتاژ متوسط به روش عددی:
همان طور که قبلا بیان کردیم، مقدار ولتاژ متوسط یک شکل موج متناوب که دو نیم سیکل آن دقیقا با یکدیگر مشابه اما دارای علامت مختلف باشند، برابر با صفر خواهد بود.

البته توجه کنید که این مقدار برای تمام سیگنال های پریودیک سینوسی یا غیرسینوسی در یک دوره تناوب کامل صادق است.

بنابراین برای محاسبه مقدار ولتاژ متوسط، باید مقادیر لحظه ای را در طول یک نیم سیکل از سیگنال با یکدیگر جمع کنیم.

اما اگر سیگنال ولتاژ، یک شکل موج غیر متقارن یا پیچیده باشد، ولتاژ یا جریان متوسط را باید در طول تمام دوره تناوب در نظر گرفت.

مقدار ولتاژ متوسط را می توان به صورت ریاضی و با استفاده از تقریب ناحیه زیر منحنی در بازه های مختلف به طول بازه محاسبه کرد. در تصویر زیر نمایی از نحوه محاسبه ولتاژ متوسط با تقریب ناحیه زیر نمودار نشان داده شده است.

از طریق تقریب ناحیه مستطیلی یا مثلثی زیر نمودار، می توان یک ایده حدسی از ناحیه واقعی زیر هر بخش به دست آورد.

حال با جمع کردن هر یک از این نواحی با یکدیگر، می توان مقدار ولتاژ متوسط را به دست آورد. اگر از تعداد بی نهایت ناحیه باریک تر مستطیلی شکل استفاده شود، آن گاه نتیجه نهایی از دقت بالاتری برخوردار خواهد بود؛ زیرا به 2 π نزدیک تر می شود.

ناحیه زیر نمودار را می توان به روش های مختلفی به دست آورد. از جمله این روش ها می توان به قاعده ذوزنقه ای، قاعده فاصله میانی و قاعده سیمپسون (Simpson) اشاره کرد.

بنابریان ناحیه زیر نیم سیکل مثبت از یک سیگنال متناوب با دوره تناوب T، که با رابطه V(t)=VPcos(ωt) تعریف می شود را می توان با استفاده از انتگرال و به صورت زیر به دست آورد:

در رابطه فوق، مقادیر 0 و π برابر با کران های انتگرال هستند؛ زیرا ما قصد داریم مقدار ولتاژ متوسط را در طول یک نیم سیکل از شکل موج ولتاژ محاسبه کنیم. بنابراین با استفاده از فرمول بالا، نهایتا ناحیه زیر منحنی را برابر با 2VP به دست می آوریم.

حال که مقدار ناحیه زیر نیم سیکل مثبت (یا منفی) از منحنی را می دانیم، می توانیم به راحتی مقدار ولتاژ متوسط متعلق به نیم سیکل مثبت (یا منفی) را از طریق انتگرال گیری از مقدار سینوسی در طول یک نیم سیکل و تقسیم کردن بر نصف مقدار دوره تناوب به دست آوریم.

به عنوان مثال، اگر معادله ولتاژ سینوسی به صورت V=VPsin(θ) داده شده باشد و دوره تناوب این سیگنال برابر با 2π باشد، آن گاه برای محاسبه ولتاژ متوسط باید به صورت زیر عمل کنیم:

بنابراین معادله استاندارد برای محاسبه ولتاژ متوسط یک شکل موج سینوسی را می توان به صورت زیر نوشت:

پس نتیجه می گیریم که ولتاژ متوسط یک شکل موج سینوسی، با ضرب کردن ولتاژ پیک سیگنال در عدد ثابت 0٫637 به دست می آید که این عدد حاصل تقسیم 2 بر عدد π است.

بنابراین مقدار ولتاژ متوسط که می توان به آن ولتاژ میانگین نیز گفت، به دامنه شکل موج بستگی دارد و به هیچ وجه تابعی از فرکانس یا زاویه فاز آن نیست.

بنابراین این مقدار متوسط که می تواند متعلق به یک شکل موج ولتاژ یا جریان سینوسی باشد را نیز می توان به صورت یک مقدار DC معادل از ناحیه و زمان نشان داد. در تصویر زیر نمایی از ناحیه ولتاژ متوسط در سیگنال با شکل موج سینوسی نشان داده شده است.

همان طور که در تصویر فوق می بینید، مقدار میانگین سیگنال در یک دوره تناوب کامل برابر با صفر است؛ زیرا در جمع نواحی، مقدار میانگین در نیم سیکل مثبت توسط مقدار میانگین در نیم سیکل منفی خنثی می شود (VAV+(−VAV)) و در نهایت مقدار ولتاژ متوسط در یک دوره تناوب کامل سیگنال سینوسی برابر با عدد صفر به دست می آید.

حال در مسئله ای که ولتاژ میانگین را به روش گرافیکی محاسبه کردیم، دیدیم که مقدار ولتاژ پیک (VPK) برابر با 20 ولت در نظر گرفته شده بود.

برای همین مسئله، با استفاده از روش عددی مقدار ولتاژ متوسط را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

با دقت در فرمول فوق، مشاهده می کنید که عدد به دست آمده به عنوان ولتاژ متوسط با استفاده از روش عددی دارای اختلاف بسیار کمی با مقدار ولتاژ متوسط به دست آمده با استفاده از روش گرافیکی است.

حال می خواهیم مقدار ولتاژ پیک را با در دست داشت مقدار ولتاژ متوسط محاسبه کنیم. برای این کار، باید فرمول را بازنویسی کنیم و سپس آن را بر یک عدد ثابت تقسیم نماییم.

به عنوان مثال، می خواهیم مقدار ولتاژ پیک VPK یک سیگنال را در صورتی به دست بیاوریم که مقدار متوسط آن برابر با 65 ولت باشد. برای این کار محاسبات را به صورت زیر انجام می دهیم:

توجه کنید که ضرب کردن مقدار پیک یا بیشینه در یک عدد ثابت 0٫637 فقط به سیگنال هایی با شکل موج سینوسی قابل اعمال است.