تاخیر در حوزه تبدیلات مختلف در سیستم

تاخیر در حوزه تبدیلات مختلف در سیستم:
نمی توان از تبدیل Z معمولی برای سیستم هایی استفاده کرد که دارای تاخیر زمانی تصادفی و یا تاخیر پردازش هستند.

با این حال، می توان برای چنین سیستم هایی از یک نسخه «تبدیل Z اصلاح شده» (Modified Z-Transform) استفاده کرد.

در برخی مراجع به این تبدیل Z اصلاح شده، «تبدیل Z پیشرفته» (Advanced Z-Transform) می گویند.

تبدیل ستاره تاخیر یافته:
برای نشان دادن مفهوم تاخیر ایده آل، می توانیم بررسی کنیم که تبدیل ستاره چگونه به ورودی تاخیر یافته در زمان با یک مقدار شیفت زمانی برابر با T پاسخ می دهد. تابعX∗(s,Δ) تبدیل ستاره تاخیر یافته با پارامتر تاخیر△ است. تبدیل ستاره تاخیر یافته به صورت زیر تعریف می شود:

همان طور که در رابطه فوق می توان دید، در تبدیل ستاره، یک سیگنال تاخیر زمانی در یک مقدار نمایی کاهشی در حوزه تبدیل ضرب شده است.

تبدیل Z تاخیر یافته:
می دانیم تبدیل ستاره با استفاده از تغییر متغیر زیر با تبدیل Z ارتباط دارد:

z=e-sT

در نتیجه می توانیم این رابطه را تفسیر کنیم و به نحوه پاسخ دادن تبدیل Z متناسب با تاخیر در حوزه زمان، پی ببریم:

مشاهده می کنید که این همان نتیجه ای است که انتظار آن را داشتیم. حال که می دانیم چگونه تبدیل Z به تاخیرهای حوزه زمان پاسخ می دهد، می توانیم این رفتار را به فرمی تعمیم دهیم که به آن تبدیل Z تاخیر یافته می گویند.

تبدیل Z تاخیر یافته یک تابع از دو متغیر z و Δ است و به صورت زیر تعریف می شود:

و در نتیجه رابطه زیر به دست می آید:

تبدیل Z اصلاح شده:
تبدیل Z تاخیر یافته در برخی مواقع مورد استفاده قرار می گیرد، اما مهندسان و ریاضی دانان تصمیم گرفتند که یک نسخه کاربردی تر از تبدیل Z را به وجود آورند.

نسخه جدید تبدیل Z، بسیار شبیه به تبدیل Z تاخیر یافته است و فقط از یک تغییر متغیر در آن استفاده شده است و به آن تبدیل Z اصلاح یافته می گویند.

تبدیل Z اصلاح شده بر اساس تبدیل Z تاخیر یافته به صورت زیر تعریف می شود:

این رابطه را به صورت صریح نیز می توان بر اساس رابطه زیر به دست آورد: