مفهوم جابه جایی مکانیک مواد

مفهوم جابه جایی مکانیک مواد:
در یک جسم پیوسته، جابه جایی منجر به تغییر پیکربندی خواهد شد. جابه جایی یک جسم، دارای دو مؤلفه جابه جایی جسم صلب و تغییر شکل است.

در جابه جایی جسم صلب، انتقال و چرخش جسم به صورت هم زمان و بدون تغییر در شکل و اندازه آن رخ می دهد.

تغییر شکل یک جسم، تغییر در شکل و یا اندازه آن از پیکربندی اولیه یا بدون تغییر κ0(B) به پیکربندی فعلی یا تغییر یافته κt(B) را نشان می دهد (شکل زیر).

در صورتی که پس از جابه جایی یک محیط پیوسته، بین ذرات یک جابه جایی نسبی مشاهده شود، تغییر شکل رخ داده است.

از طرف دیگر، اگر پس از جابه جایی یک محیط پیوسته، جابه جایی نسبی بین ذرات صفر باشد، هیچ تغییر شکلی ایجاد نشده و جابه جایی جسم صلب رخ داده است.

به برداری که موقعیت های مکانی یک ذره (P) در پیکربندی بدون تغییر و پیکربندی تغییر یافته را به هم متصل می کند، بردار جابه جایی u(X,t) = uiei در توصیف لاگرانژی یا U(x,t) = UJEJ در توصیف اویلری گفته می شود.

میدان جابه جایی، میدان برداری تمام بردارهای جابه جایی برای ذرات موجود در جسم مورد بررسی است. این میدان، پیکربندی تغییر یافته را به پیکربندی بودن تغییر ارتباط می دهد.

در تحلیل تغییر شکل یا حرکت یک جسم، استفاده از میدان جابه جایی کار را راحت تر می کند. به طور کلی، رابطه میدان جابه جایی را با توجه به مختصات مادی می توان به صورت زیر بیان کرد:

یا

در صورت بازنویسی روابط بالا با توجه به مختصات فضایی، خواهیم داشت:

یا

αJi: کسینوس هادی بین سیستم های مختصات مادی و فضایی با بردارهای یکه EJ و ei

به این ترتیب، داریم:

رابطه بین ui و UJ به صورت زیر خواهد بود:

یا

با دانستن رابطه زیر:

خواهیم داشت:

معمولاً، سیستم های مختصات برای پیکربندی های تغییر یافته و بدون تغییر بر روی هم قرار داده می شوند. از این، b=0 می شود و کسینوس های هادی نیز به «دلتای کرونکر» (Kronecker Delta) تبدیل خواند شد:

بنابراین، خواهیم داشت:

یا

و در حالت مختصات فضایی نیز خواهیم داشت:

یا

تانسور گرادیان جابه جایی:
با مشتق گیری جزئی بردار جابه جایی نسبت به مختصات مادی می توان تانسور گرادیان جابه جایی ماده (XU∇) را به دست آورد. به این ترتیب، داریم:

یا

در روابط بالا، F، تانسور گرادیان تغییر شکل است. با مشتق گیری جزئی بردار جابه جایی نسبت به مختصات فضایی نیز تانسور گرادیان جابه جایی فضایی (xU∇) به دست می آید. به این ترتیب، داریم:

یا