مفهوم تغییر شکل در مواد

مفهوم تغییر شکل در مواد:
تغییر شکل، تغییر در ابعاد یک جسم پیوسته است. فرض کنید که محل اولیه و نهایی قرارگیری یک جسم را با استفاده از خطوطی مشخص کنیم.

در این وضعیت، تغییر شکل می تواند باعث تغییر در اندازه این خطوط شود. به حالتی که هیچ تغییری در طول خطوط مشاهده نشود، جابه جایی جسم صلب گفته می شود.

در تحلیل تغییر شکل ها، استفاده از یک پیکربندی مرجع یا وضعیت هندسی اولیه، بررسی پیکربندی و تغییرات بعدی را راحت تر می کند. معمولاً پیکربندی جسم در t=0 را به عنوان پیکربندی مرجع، κ0(B)، در نظر می گیرند.

برای تجزیه و تحلیل تغییر شکل، پیکربندی مرجع، با عنوان پیکربندی بدون تغییر و پیکربندی فعلی، با عنوان پیکربندی تغییریافته شناخته می شود. علاوه بر این، در هنگام تحلیل تغییر شکل، پارامتر زمان در نظر گرفته نمی شود. از این رو، پیکربندی های موجود در بین حالت تغییر یافته و بدون تغییر، مد نظر قرار نمی گیرند.

به مؤلفه های Xi در بردار مکان X برای یک ذره با پیکربندی و سیستم مختصات مرجع، مختصات مادی یا مختصات مرجع گفته می شود.

در طرف مقابل، مؤلفه های xi در بردار مکان x برای یک ذره با پیکربندی تغییر یافته و سیستم مختصات فضایی مرجع را مختصات فضایی می گویند.

دو روش برای تجزیه و تحلیل تغییر شکل در محیط های پیوسته وجود دارد. یکی از این روش ها، بر اساس مختصات مادی یا مرجع تعریف شده است که به آن «توصیف مادی» (Material Description) یا «توصیف لاگرانژی» (Lagrangian Description) گفته می شود.

روش دوم، بر اساس مختصات فضایی المان مورد تحلیل تعریف شده است که به آن «توصیف فضایی» (Spatial Description) یا «توصیف اویلری» (Eulerian Description) می گویند.

در حین تغییر شکل یک محیط پیوسته، جسم مورد نظر همیشه دارای پیوستگی است. دلایل این امر را می توان به صورت زیر بیان کرد:

• نقاطی از ماده که در هر لحظه از زمان تشکیل یک منحنی بسته را می دهند، در زمان های بعدی نیز همیشه یک منحنی بسته را تشکیل خواهند داد.
• نقاطی از ماده که در هر لحظه از زمان تشکیل یک سطح بسته را می دهند، در زمان های بعدی نیز همیشه یک سطح بسته را تشکیل خواهند داد. به علاوه، مواد موجود در این سطح، همیشه درون محدوده آن باقی خواهند ماند.

تغییر شکل آفین:
«تغییر شکل آفین» (Affine Deformation)، تغییر شکلی است که بتوان آن را توسط یک «تبدیل آفین» (Affine Transformation) توصیف کرد.

این تبدیل، ترکیبی از تبدیل خطی (دوران، برش، کشش و فشارش) و انتقال جسم صلب است. به تغییر شکل آفین، تغییر شکل همگن نیز گفته می شود.

این تغییر شکل، دارای رابطه ای به شکل زیر است:

x: موقعیت قرارگیری یک نقطه در پیکربندی تغییر یافته؛ X: موقعیت در پیکربندی مرجع؛ t: پارامتر مرتبط با زمان؛ F: مبدل خطی؛ c: تابع انتقال

بر اساس یک پایه متعامد، می توان فرم ماتریسی تغییر شکل آفین را به صورت زیر نمایش داد:

اگر در ماتریس بالا، F=F(X,t) یا c=c(X,t) باشد، تغییر شکل به صورت غیر آفین یا ناهمگن خواهد بود.

حرکت جسم صلب:
یکی از حالت های خاص تغییر شکل آفین، حرکت جسم صلب است که در آن هیچ برش، کشش یا فشارشی رخ نمی دهد. از آنجایی که ماتریس تبدیل F، ماتریس متعامد مناسبی برای اعمال چرخش بدون تقارن است. حرکت جسم صلب را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

که در آن:

ماتریسی رابطه های بالا به صورت زیر است: