معیار شکست مور-کولمب در مواد

معیار شکست مور-کولمب در مواد:

«معیار شکست مور-کولمب» (Mohr-Coulomb Failure Criterion)، پوش خطی حاصل از نمودار مقاومت برشی ماده در مقابل تنش نرمال اعمال شده به آن را نشان می دهد.

رابطه ریاضی این معیار به صورت زیر تعریف می شود:

τ=σtan(ϕ)+c

τ: مقاومت برشی؛ σ: تنش نرمال؛ c: تقاطع پوش شکست با محور مقاومت برشی؛ (tan(ϕ: شیب پوش شکست

کمیت c معمولاً با عنوان «چسبندگی» (Cohesion) و ϕ با عنوان «زاویه اصطکاک داخلی» (Internal Friction Angle) شناخته می شود. معمولاً علامت تنش در هنگام اعمال فشار، مثبت (+) در نظر گرفته می شود. در صورت فرض منفی بودن علامت فشار، باید σ- را جایگزین σ کرد.

نمایی از سطح شکست مور-کولمب در دستگاه سه بعدی تنش های اصلی با مقادیر c=2MPa و ϕ=-20.
اگر ϕ=0 باشد، معیار مور-کولمب به «معیار ترسکا» (Tresca Criterion) تبدیل می شود. در طرف مقابل، اگر ϕ=90 باشد، مدل مور-کولمب با «مدل رانکین» (Rankine Model) برابر خواهد بود. علاوه بر این، زاویه اصطکاک داخلی نمی تواند مقداری بیشتر از 90 درجه داشته باشد.

بر اساس روابط موجود در دایره مور داریم:

σ=σm−τmsinϕ;τ=τmcosϕ

که در آن:

σ1: تنش اصلی ماکسیمم؛ σ3: تنش اصلی مینیمم

بر اساس معادلات بالا می توان معیار مور-کولمب را به صورت زیر نیز نوشت:

τm=σmsinϕ+ccosϕ

این شکل از معیار مور-کولمب برای حالتی مناسب است که سطح شکست با جهت σ2 موازی باشد.

معیار شکست مور-کولمب در سه بعد:
معیار مور-کولمب در مختصات سه بعدی اغلب به صورت زیر تعریف می شود:

سطح شکست مور-کولمب مخروطی با مقطع شش وجهی در دستگاه مختصات تنش انحرافی است.

با بسط دادن تنش های نرمال و تنش برشی به دست آمده در یک صفحه با جهت گیری دلخواه نسبت به محورهای مختصات (بردارهای پایه)، می توان عبارات τ و σ را در سه بعد تعمیم داد. فرض کنید که بردار یکه نرمال برای صفحه مورد نظر به صورت زیر باشد:

n=n1e1+n2e2+n3e3

در معادله بالا، ei بردار یکه پایه در جهت i=1,2,3 (سه بردار عمود بر هم) را نشان می دهد. اگر تنش های اصلی σ2، σ1 و σ3 با بردارهای e2، e1 و e3 هم راستا باشند، عبارات τ و σ به صورت زیر به دست خواهند آمد:

با تعیین مقادیر معادلات بالا، معیار مور-کولمب توسط رابطه اصلی زیر برای شش صفحه معرف تنش برشی ماکسیمم به دست می آید:

τ=σtan(ϕ)+c

سطح شکست مور-کولمب در مختصات های-وسترگارد:
سطح (تسلیم) شکست مور-کولمب، اغلب در دستگاه مختصات «های-وسترگارد» (Haigh-Westergaard) بیان می شود (یک نوع دستگاه مختصات استوانه ای).

به عنوان مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:

این تابع را می توان به صورت زیر نیز نوشت:

با در نظر گرفتن کمیت های تغییرناپذیر q، p و r، معادله بالا به شکل زیر تبدیل خواهد شد:

که در آن:

رابطه بین سطح تسلیم مور-کولمب و پلاستیسیته:
سطح تسلیم مور-کولمب اغلب برای مدل سازی جریان پلاستیک مواد در حوزه زمین شناسی، مواد چسبنده و مواد اصطکاکی مورد استفاده قرار می گیرد.

بسیاری از این مواد، هنگام قرارگیری در معرض تنش های سه محوری، یک رفتار اتساعی از خود به نمایش می گذارند.

این نوع رفتار در مدل مور-کولمب در نظر گرفته نمی شود. علاوه بر این، به دلیل وجود گوشه در سطح تسلیم، استفاده از مدل اصلی مور-کولمب برای تعیین جهت گیری جریان پلاستیک (در تئوری جریان پلاستیک) مناسب نیست.

یکی از رویکردهای متداول برای حل این مشکل، استفاده از پتانسیل جریان پلاستیک غیر همراه و آرام است. تابع زیر، نمونه ای از این نوع پتانسیل را نشان می دهد:

α: پارامتر؛ cy: مقدار c در هنگام صفر بودن کرنش پلاستیک؛ ψ: زاویه حاصل از سطح تسلیم در «صفحه رندولیک» (Rendulic Plane) با مقادیر بالای p؛ (G(ϕ,θ: یک تابع مناسب که در صفحه تنش انحرافی به صورت آرام است. کمیت cy با عنوان تنش تسلیم چسبندگی اولیه و ψ با عنوان زاویه اتساع نیز شناخته می شود.