محاسبات مدول یانگ

محاسبات مدول یانگ:

مدول یانگ (E)، از تقسیم تنش کششی (σε) بر کرنش کششی مهندسی (ε) در بخش الاستیک (خطی) منحنی تنش-کرنش به دست می آید:

E: مدول یانگ (مدول الاستیک)؛ F: نیروی اعمال شده بر جسم تحت کشش؛ A: مساحت سطح مقطع واقعی (مساحت سطح مقطع در راستای عمود بر نیروی اعمال شده)؛ ΔL: مقدار تغییرات طول جسم (اگر جسم تحت کشش باشد، علامت تغییرات مثبت و اگر تحت فشار باشد، علامت تغییرات منفی خواهد بود)؛ L0: طول اولیه جسم

نیروی اعمال شده بر جسم تحت کشش یا فشار:
از مدول یانگ می توان برای محاسبه نیروی اعمال شده در یک کرنش مشخص استفاده کرد:

F: نیروی اعمال شده بر جسم در هنگام کشیدگی یا فشردگی به اندازه ΔL

قانون هوک برای یک سیم کشیده شده از فرمول زیر به دست می آید:

که در هنگام رسیدن سیم به حد اشباع خواهیم داشت:

توجه: رفتار الاستیک فنرهای لول ناشی از خاصیت مدول برشی آن ها است (نه مدول یانگ).

انرژی پتانسیل الاستیک:
انرژی پتانسیل الاستیک ذخیره شده در مواد الاستیک با انتگرال گیری از قانون هوک قابل محاسبه است:

با توجه به قانون هوک (برای یک سیم کشیده شده)، متغیرهای انتگرال بالا را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

به این ترتیب، چگالی انرژی پتانسیل الاستیک (انرژی در واحد حجم) به صورت زیر خواهد بود:

با توجه به تعریف کرنش، داریم:

بنابراین، شکل ساده شده انرژی پتانسیل الاستیک برای مواد الاستیک خطی از رابطه زیر به دست می آید:

توجه کنید که مفهوم انرژی پتانسیل و روابط آن در دو مطلب «انرژی پتانسیل» و «قضیه کار و انرژی» به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته است.

رابطه بین ثابت های الاستیک:
در مواد الاستیک خطی همسانگرد، رابطه ساده ای بین ثابت های الاستیک (مدول یانگ، مدول برشی، مدول حجمی و نسبت پواسون) وجود دارد که باعث می شود با دانستن تنها دو مورد از این ثابت ها، بقیه موارد قابل محاسبه باشند.

این رابطه عبارت است از:

E=2G(1+ν)=3K(1−2ν)