تعریف تانسور نرخ کرنش مواد (Strain Rate Tensor)

تعریف تانسور نرخ کرنش مواد (Strain Rate Tensor):
«تانسور نرخ کرنش» (Strain Rate Tensor)، یک کمیت فیزیکی در مکانیک محیط های پیوسته است که تغییر شکل ماده در مجاورت یک نقطه مشخص را در یک لحظه خاص توصیف می کند.

با مشتق گرفتن از تانسور کرنش نسبت به زمان یا مشتق گرفتن از جریان سرعت نسبت به مکان (مؤلفه های متقارن گرادیان جریان سرعت) می توان تانسور نرخ کرنش را به دست آورد.

تانسور نرخ کرنش، صرفاً یک مفهوم جنبشی است که امکان توصیف حرکت مواد در مقیاس ماکروسکوپی را فراهم می کند.

از این رو، این مفهوم به ماهیت ماده یا تنش ها و نیروهای احتمالی بستگی ندارد و در تمام محیط های پیوسته (جامد، مایع یا گاز) قابل محاسبه است.

از طرف دیگر، برای تمام مواد سیال (به استثنای ابر سیالات)، به دلیل وجود اصطکاک بین المان های مجاور مواد، هرگونه تغییر شکل تدریجی (تانسور نرخ کرنش غیر صفر) باعث افزایش نیروهای ویسکوز در داخل سیال می شود.

این نیروها، در برابر تغییرات مقاومت می کنند و تمایل به برگرداندن ماده به حالت اول دارند. تنش های موجود در هر نقطه درون یک سیال را می توان با استفاده از «تانسور تنش ویسکوز» (Viscous Stress Tensor) توصیف کرد.

به علاوه، تقریباً در همه موارد امکان تعیین این تانسور توسط تانسور نرخ کرنش و برخی از خصوصیات ذاتی سیال در نقطه مورد نظر وجود دارد.

در جامدات، علاوه بر تنش الاستیک موجود در تغییر شکل های استاتیک، تنش ویسکوز نیز رخ می دهد. هنگامی که مقدار این تنش ها به اندازه کافی بزرگ باشد، ماده دارای خاصیت «ویسکوالاستیسیته» (Viscoelasticity) خواهد بود.

مواد ویسکوالاستیک، رفتاری میان دو خاصیت کلی ویسکوز بودن و کشسان بودن را از خود به نمایش می گذارند.

تعریف ریاضی تانسور نرخ کرنش:
یک جسم جامد در حال حرکت یا مایع در حال جریان را در نظر بگیرید. فرض کنید v، میدان سرعت درون جسم و یک تابع هموار از R3*R باشد.به این ترتیب، (v(p,t، سرعت ماکروسکوپی گذرنده از نقطه p در زمان t را نشان می دهد.

سرعت (v(p+r,t در نقطه ای با فاصله برداری r از p را می توان به صورت یک سری تیلور نوشت:

v(p+r,t)=v(p,t)+(∇v)(p,t)(r)+Higher order terms

در معادله بالا، گرادیان میدان سرعت (v∇)، به عنوان یک نگاشت خطی در نظر گرفته می شود که بردار جابه جایی r را به تغییرات متناظر سرعت مرتبط می کند.

شکل های بالا میدان سرعت (v(p+r,t برای هر جریان دلخواه اطراف نقطه p (نقطه قرمز) در لحظه t و عبارات مرتبه اول تخمین تیلور در نزدیکی p را نشان می دهد.

مؤلفه سوم سرعت (در امتداد داخل صفحه) در همه جا صفر در نظر گرفته می شود. در یک چارچوب مرجع دلخواه، v∇ به ماتریس جاکوبی میدان مرتبط است.

به عنوان مثال، در فضای سه بعدی ماتریس 3*3 زیر را خواهیم داشت:

vi: مؤلفه v که با محور i موازی است؛ jf∂: مشتق جزئی تابع f نسبت به مختصات فضایی xj را نشان می دهد؛ J: تابعی از p و t است.

در این دستگاه مختصات، تخمین تیلور برای محاسبه سرعت در نزدیکی نقطه p به صورت زیر خواهد بود:

اگر v و t ماتریس های 3*1 باشند، معادله بالا را می توان به صورت زیر نمایش داد:

v(p+r,t)=v(p,t)+J(p,t)r

بخش های متقارن و نامتقارن تانسور کرنش:
تمام ماتریس ها را می توان به صورت حاصل جمع یک ماتریس متقارن با یک ماتریس پادمتقارن تجزیه کرد. اگر بخواهیم این عملیات را روی ماتریس جاکوبی J = (∇v)T با مؤلفه های متقارنِ E و پادمتقارنِ R اعمال کنیم، خواهیم داشت:

معادلات بالا را می توان به صورت زیر نوشت:

این تجزیه، مستقل از دستگاه مختصات بوده و به همین دلیل، دارای مفهوم فیزیکی است. از این رو، برای تخمین میدان سرعت خواهیم داشت:

v(p+r,t)≈v(p,t)+E(p,t)(r)+R(p,t)(r)

که در آن:

عبارت پادمتقارنِ R، بیانگر چرخش صلب گونه سیال در اطراف نقطه p است. سرعت زاویه ای این سیال توسط رابطه زیر به دست می آید:

حاصل عبارت v×∇، با عنوان «تابِ دورانی» (Rotational Curl) میدان سرعت شناخته می شود. در یک چرخش صلب، موقعیت های نسبی المان های سیال تغییر نمی کنند.

از این رو، عبارت پادمتقارن R در گرادیان سرعت، تأثیری بر روی نرخ تغییر شکل ندارد. بنابراین، نرخ کرنش واقعی توسط عبارت متقارن E توصیف می شود. این عبارت همان تانسور نرخ کرنش است.

نرخ برش و نرخ فشار:
عبارت متقارن R در گرادیان سرعت (تانسور نرخ کرنش) را می توان به صورت حاصل جمع یک مقدار اسکالر در تانسور واحد (تراکم یا انبساط همسانگرد تدریجی) و یک تانسور متقارنِ بدون اثر (تغییر شکل برشی تدریجی با حجم ثابت) نمایش داد:

E(p,t)(r)=D(p,t)(r)+S(p,t)(r)

که در آن:

عبارت اول، تانسور نرخ انبساط (Dij) و عبارت دوم، تانسور نرخ برش (Sij) را نشان می دهد. به علاوه، δ، تانسور واحدی است که اگر در آن i=j باشد، δij برابر با 1 و اگر i≠j باشد، δij برابر با 0 خواهد بود.

این تجزیه، مستقل از نوع دستگاه مختصات انتخاب شده است و به همین دلیل یک مفهوم فیزیکی به حساب می آید.

تانسور نرخ انبساط، یک سومِ دیورژانس میدان سرعت است:

∇⋅v=∂1v1+∂2v2+∂3v3

تانسور نرخ برش توسط یک ماتریس متقارن 3*3 نمایش داده می شود. این تانسور، معرف جریانی است که جریان های انبساطی و انقباضی را در امتداد سه محور متعامد و بدون تغییر حجم با هم ترکیب می کند. این نوع جریان در مواردی مانند ریختن عسل از روی یک قاشق به صورت یک جریان ملایم پیوسته یا کشیدن یک نوار لاستیکی از دو انتهای آن رخ می دهد.

برای یک جریان دوبعدی، دیورژانس v تنها دارای دو عبارت است و به جای تغییرات حجم، تغییرات مساحت را به صورت کمی درمی آورد. در این حالت، به منظور تعیین تانسور نرخ انبساط، یک دوم دیورژانس میدان سرعت محاسبه می شود.