تعریف رابطه بین معیارهای تنش در مکانیک محیط

تعریف رابطه بین معیارهای تنش در مکانیک محیط:
در ادامه به رابطه های بین معیارهای تنش پرداخته شده است.

رابطه بین تنش کوشی و تنش اسمی:
با توجه به «رابطه نانسون» (Nanson’s Relation) برای رابطه بین پیکربندی مرجع و تغییر یافته داریم:

ndΓ=JF−T⋅n0dΓ0

اکنون می توانیم رابطه بالا را به صورت زیر بنویسیم:

σT⋅ndΓ=df=NT⋅n0dΓ0

به این ترتیب داریم:

σT⋅(JF−T⋅n0dΓ0)=NT⋅n0dΓ0

یا می توان نوشت:

NT=J(F−1⋅σ)T=JσT⋅F−T

به صورت دیگر خواهیم داشت:

N=JF−1⋅σ

و

NT=P=JσT⋅F−TN=JF−1⋅σ

در معادلات زیر، شاخص های پارامترهای روابط بالا را علامت گذاری کرده ایم:

NIj=JF−1Ikσkj

و

PiJ=JσkiF−1Jk

بنابراین:

Jσ=F⋅N=F⋅PT

توجه داشته باشید که به دلیل نامتقارن بودن F، دو کمیت N و P نیز متقارن نخواهند بود.

رابطه بین تنش اسمی و تنش مرتبه دوم پیولا-کیرشهف:
معادلات زیر را در نظر بگیرید:

NT⋅n0dΓ0=df

و

df=F⋅df0=F⋅(ST⋅n0dΓ0)

با توجه به این معادلات داریم:

NT⋅n0=F⋅ST⋅n0

در صورت استفاده از تقارن S خواهیم داشت:

N=S⋅FTوP=F⋅S

با اضافه کردن شاخص هر یک از کمیت ها، معادلات بالا به شکل زیر درمی آیند:

NIj=SIKFTjK

و

PiJ=FiKSKJ

این معادلات را می توان به نحوه دیگری نیز نوشت:

S=N⋅F−T

و

S=F−1⋅P

رابطه بین تنش کوشی و تنش مرتبه دوم پیولا-کیرشهف:
معادله زیر را در نظر بگیرید:

N=JF−1⋅σ

با توجه به تنش مرتبه دوم پیولا-کیرشهف خواهیم داشت:

S⋅FT=JF−1⋅σ

بر اساس معادله بالا داریم:

S=JF−1⋅σ⋅F−T=F−1⋅τ⋅F−T

با اضافه کردن شاخص هر یک از کمیت ها، معادله بالا به شکل زیر درمی آید:

SIJ=F−1IkτklF−1Jl

از آنجایی که تنش کوشی (همچنین تنش کیرشهف) متقارن است، تنش مرتبه دوم پیولا-کیرشهف نیز متقارن خواهد بود.

به جای معادله بالا می توان نوشت:

σ=J−1F⋅S⋅FT

یا

τ=F⋅S⋅FT

بر اساس تعریف عملیات «پوش فوروارد» (Push-Forward) و «پول بَک» (Pull-Back) خواهیم داشت:

S=φ∗[τ]=F−1⋅τ⋅F−T

و

τ=φ∗[S]=F⋅S⋅FT

به این ترتیب، S، پول بَکِ τ بر اساس F و τ، پوش فوروارد S است.