روش های ریاضی برای اجرای تحلیل تنش

روش های ریاضی برای اجرای تحلیل تنش:
روش های آزمایشگاهی کاربرد گسترده ای در انجام تحلیل های تنش دارند. با این وجود، اکثر این تحلیل ها با استفاده از روش های ریاضی و در حین طراحی اجرا می شوند. در ادامه، به توضیح برخی از روش های ریاضی تحلیل تنش می پردازیم.

معادلات دیفرانسیل:
با استفاده از معادلات حرکت در اجسام پیوسته (برگرفته از قوانین نیوتن برای تبدیل گشتاور خطی و گشتاور زاویه ای)، قاعده تنش کوشی-اویلر و معادلات مشخصه مناسب می توان مسائل ابتدایی تحلیل تنش را به صورت فرمول درآورد.

با استفاده از این قوانین، یک دستگاه ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋﯽ به دست می آید که رابطه بین میدان تانسور تنش نسبت به میدان تانسور کرنش در آن به صورت توابع مجهول آورده شده است.

با حل معادلات بر اساس هر یک از میدان های تانسور تنش یا کرنش، می توان حاصلِ میدان دیگر را از طریق حل یک دستگاه معادلات به نام معادلات مشخصه به دست آورد.

میدان های تانسور تنش و کرنش به طور معمول در هر یک از بخش های دستگاه به صورت پیوسته هستند. به همین دلیل می توان این بخش ها را به صورت محیط های پیوسته ای در نظر گرفت که معادلات مشخصه آن ها به طور جزئی تغییر می کنند.

در معادلات دیفرانسیل، نیروهای خارجی به صورت عبارت مستقل (عبارت سمت راست) و نیروهای متمرکز به صورت شرایط مرزی ظاهر می شوند.

برای در نظر گرفتن نیروهای سطحی خارجی (مانند فشار یا اصطکاک محیط) می توان یک مقدار ثابترا به مؤلفه های آن سطح در تانسور تنش اعمال کرد. نیروهای خطی خارجی (مانند کشش) یا بارگذاری های نقطه ای (مانند وزن یک شخص ایستاده بر روی سقف) باعث ایجاد شرایط منحصر به فردی در میدان تنش می شوند.

در این حالت می توان فرض کرد که این نیروها بر روی یک حجم یا سطح کوچک توزیع شده اند. از این رو، ابتدایی ترین مسئله در تحلیل تنش، یک «مسئله مقدار مرزی» (Boundary-Value Problem) است.

تحلیل تنش در محیط های الاستیک و خطی:
در یک سیستم الاستیک، تغییر شکل ناشی از بارگذاری بر روی جسم پس از باربرداری به صورت کامل و خود به خود به حالت اول بازمی گردد.

تنش های گسترش یافته درون یک محیط الاستیک، بر اساس «تئوری الاستیسیته» (Theory of Elasticity) و «تئوری کرنش بسیار کوچک» (Infinitesimal Strain Theory) محاسبه می شوند. هنگامی که اعمال بارگذاری منجر به تغییر شکل دائمی ماده شود، باید از معادلات مشخصه پیچیده تری استفاده کرد.

این معادلات فرآیندهای فیزیکی دخیل در این نوع تغییر شکل (مانند جریان پلاستیک، ایجاد شکست، تغییر فاز و غیره) را در نظر می گیرند.

طراحی سازه های مهندسی معمولاً به گونه ای است که حداکثر تنش مورد انتظار، در محدوده الاستیک خطی (تعمیم قانون هوک برای محیط های پیوسته) قرار می گیرد. در این حالت، رابطه بین تغییر شکل های ناشی از تنش های داخلی و بارگذاری های اعمال شده به صورت خطی خواهد بود.

درک معادلات خطی بسیار ساده تر از معادلات غیر خطی است؛ به دلیل اینکه راه حل آن ها (محاسبه تنش در هر نقطه دلخواه) به صورت یک تابع خطی از نیروهای اعمال شده خواهد بود. اگر بارگذاری ها به اندازه کافی کوچک باشند، می توان سیستم های غیر خطی را نیز به صورت خطی در نظر گرفت.

تنش درونی (پیش بارگذاری شده):
در یک «سازه پیش بارگذاری شده» (Preloaded Structure)، نیروها، تنش ها و کرنش های داخلی به وسیله روش های مختلف و پیش از اعمال نیروهای خارجی در درون سازه ایجاد می شوند.

به عنوان مثال، کابل های سفت شده در یک سازه می توانند پیش از اعمال بارگذاری های خارجی، باعث ایجاد نیروهای داخلی شوند. یکی از مثال های متداول از سازه های پیش بارگذاری شده، شیشه حرارت دیده است.

نیروها و تنش های کششی موجود در سطح داخلی و مرکز این نوع شیشه باعث ایجاد نیروهای فشاری و اعمال این نیروها به سطوح خارجی شیشه می شوند.

مسئله ای که در اینجا مطرح می شود، یک نوع «مسئله بدطرح» (Ill-Posed Problem) محسوب می شود زیرا دارای بی نهایت جواب است.

در واقع، برای هر جسم جامد سه بعدی (حتی در وضعیت عدم وجود نیروهای خارجی) می توان بی نهایت میدان تانسور تنش غیر صفر در نظر گرفت که تمامی آن ها در حالت تعادل استاتیکی قرار دارند.

این میدان ها اغلب با عنوان میدان های تنش هایپر استاتیک شناخته می شوند و با میدان های متعادل کننده نیروهای خارجی همراه هستند.

حضور این میدان ها در تئوری الاستیسیته خطی، به منظور سازگاری با تنش/جابه جایی و در تحلیل حدی، برای به حداکثر رساندن ظرفیت تحمل بار سازه یا اجزای آن ضروری است.

تنش های درونی در اثر عوامل فیزیکی متعددی به وجود می آیند. این عوامل را می توان به دو دسته زیر تقسیم بندی کرد:

• در حین فرآیند ساخت: «اکستروژن» (Extrusion)، «ریخته گری» (Casting) یا سخت شوندگی کرنش.
• بعد از فرآیند ساخت: حرارت غیریکنواخت، تغییر در میزان رطوبت یا تغییر در ترکیب شیمیایی.

اگر رفتار و واکنش سیستم در برابر بارگذاری به صورت خطی در نظر گرفته شود، حاصل جمع نتایج تحلیل یک سازه پیش بارگذاری شده با نتایج تحلیل همان سازه بدون پیش بارگذاری، تأثیر پیش بارگذاری را مشخص خواهد کرد.

در صورتی که امکان به کارگیری فرض خطی بودن مواد وجود نداشته باشد، هر گونه تنش درونی می تواند (به عنوان مثال با تغییر سختی مؤثر ماده) بر روی توزیع نیروهای داخلی ناشی از اعمال بارگذاری ها تأثیر بگذارد یا منجر به ایجاد یک شکست غیر منتظره در ماده شود.

به همین دلیل، از روش های متعددی (مانند باز پخت کامل شیشه سرد کاری شده و قطعات فلزی، استفاده از لرزه گیر در ساختمان ها و اتصالات غلتکی در پل ها) به منظور اجتناب یا کاهش تنش های درونی استفاده می شود.

ساده سازی مسئله در تحلیل تنش:
معمولاً اگر ابعاد فیزیکی و توزیع بارگذاری ها به گونه ای باشد که بتوان سازه را در یک یا دو بعد مورد ارزیابی قرار داد، از روش های ساده سازی تحلیل تنش استفاده می شود.

به عنوان مثال در تحلیل یک پل، اگر تمام نیروها به صفحه مشترک قرارگیری خرپاها اعمال شوند، می توان این سازه سه بعدی به عنوان یک سازه مسطح در نظر گرفت.

به علاوه، امکان در نظر گرفتن هر یک از اعضای خرپا به عنوان یک عضو تک بعدی تحت نیروهای محوری نیز وجود دارد. به این ترتیب، معادلات دیفرانسیل به یک دستگاه معادلات محدود با تعداد زیادی مجهول تبدیل می شوند.

اگر توزیع تنش در یک راستای مشخص به صورت یکنواخت، قابل پیش بینی یا بی اهمیت باشد، می توان از فرضیات کرنش و تنش صفحه ای استفاده کرد. در این شرایط، معادلات معرف میدان تنش به صورت تابعی خواهد بود که به جای سه مختصات دارای دو مختصات است.

به طور کلی، رابطه بین تانسورهای تنش و کرنش (حتی در صورت فرض رفتار الاستیک خطی)، توسط یک تانسور سختی با مرتبه چهار و 21 ضریب مستقل (یک ماتریس متقارن 6*6) تعریف می شود.

استفاده از این تعریف پیچیده برای مواد ناهمسانگرد مورد نیاز است اما در بسیاری از مواد رایج، امکان ساده سازی آن وجود دارد. به عنوان مثال، در مواد ارتوتروپیک (Orthotropic) مانند چوب، سختی نسبت به هر یک از سه صفحه متعامد دارای تقارن است.

از این رو، برای تعریف رابطه بین تنش و کرنش به دست آوردن 9 ضریب کفایت خواهد کرد. برای مواد همسانگرد، این تعداد به 2 ضریب کاهش پیدا می کند.

در برخی از بخش های دستگاه معادلات می توان نوع تنش (کشش یا فشار تک محوری، برش ساده، کشش یا فشار همسانگرد، پیچش، خمش و غیره) را به صورت پیش فرض تعیین کرد. در این بخش ها، میدان تنش با کم تر از شش مؤلفه یا حتی یک مؤلفه نیز قابل نمایش خواهد بود.

حل معادلات:
در تمام مسائل مرتبط با تحلیل تنش، باید یک دستگاه معادلات دیفرانسیل ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺟﺰﺋﯽ را به همراه شرایط مرزی مشخص برای محدوده های دوبعدی و سه بعدی حل کرد.

اگر هندسه، روابط مشخصه و شرایط مرزی به اندازه کافی ساده باشند، می توان از روش های تحلیلی معادلات دیفرانسیل (فرم بسته) برای حل مسئله استفاده کرد.

به منظور حل مسائل پیچیده تر، معمولاً از روش های عددی مانند روش المان محدود، تفاضل محدود و المان مرزی استفاده می شود.