معادلات حاکم بر محیط های الاستیک خطی

معادلات حاکم بر محیط های الاستیک خطی:
«تئوری الاستیسیته خطی» (Linear Elasticity Theory)، نحوه تغییر شکل و ایجاد تنش های داخلی در اجسام جامد را با توجه به شرایط بارگذاری مشخص و با استفاده از روابط ریاضی مورد مطالعه قرار می دهد.

این تئوری، مواد را به صورت محیط های پیوسته در نظر می گیرد. در این مقاله، شما را با معادلات حاکم بر محیط های الاستیک خطی آشنا خواهیم کرد.

الاستیسیته خطی، حالت ساده شده تئوری الاستیسیته غیر خطی و شاخه ای از مکانیک محیط های پیوسته است.

مباحثی از قبیل کرنش های بسیار کوچک یا تغییر شکل های کوچک و رابطه خطی بین مؤلفه های تنش و کرنش، از فرضیات اصلی این تئوری به حساب می آیند. فرض الاستیسیته خطی، تنها برای تنش هایی معتبر است که باعث ایجاد تسلیم ماده نمی شوند.

این فرضیات برای بسیاری از مواد مهندسی و شرایط مختلف طراحی منطقی هستند. از این رو، تئوری الاستیسیته خطی کاربرد وسیعی در تحلیل سازه ها و طراحی های مهندسی دارد. این تئوری اغلب به همراه تحلیل های المان محدود به کار می رود.

معادلات حاکم بر مسائل مقدار مرزی در محیط های الاستیک، بر اساس سه تانسور معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی برای تعادل گشتاور خطی و شش رابطه کرنش-جابه جاییِ بسیار کوچک به دست می آیند.

به منظور تکمیل دستگاه معادلات دیفرانسیل، به مجموعه ای از روابط مشخصه جبری خطی نیاز است. در ادامه، به معرفی فرم های مورد استفاده در معادلات حاکم بر محیط های الاستیک خطی می پردازیم.

فرم تانسور مستقیم:
«فرم تانسور مستقیم» (Direct Tensor Form) به دستگاه مختصات وابسته نیست. معادلات حاکم بر این فرم عبارت اند از:

معادله حرکت

این معادله بیانگر قانون دوم نیوتون است:

∇⋅σ+F=ρ¨u

معادلات کرنش-جابه جایی:

ε=12[∇u+(∇u)T]

معادلات مشخصه:
رفتار مواد الاستیک توسط قانون هوک بیان می شود. این قانون، رابطه بین تنش ها و کرنش های مجهول را نشان می دهد. معادله کلی قانون هوک به صورت زیر است:

σ=C:ε

σ: تانسور تنش کوشی؛ ε: تانسور کرنش کوچک؛ u: بردار جابه جایی؛ C: تانسور سختی مرتبه چهار؛ F: نیروی حجمی در واحد حجم؛ ρ: چگالی؛ ∇: عملگر نابلا؛ بالانویس T(•): ترانهاده؛ علامت (..) در بالای حروف: مشتق دوم نسبت به زمان؛ A:B=AijBij: ضرب داخلی دو تانسور مرتبه دو

فرم دستگاه مختصات کارتزین:
اگر مؤلفه های ارائه شده در فرم قبلی را بر اساس دستگاه مختصات کارتزین بیان کنیم، معادلات حاکم بر محیط های الاستیک به صورت زیر خواهند بود:

معادله حرکت:

σji,j+Fi=ρ∂ttui

اندیس j,(•): مخفف xj∂/(•)∂ است؛ tt∂: بیانگر مشتق مرتبه دوم ∂ نسبت به t است؛ σij=σji: تانسور تنش کوشی؛ Fi: نیروهای حجمی؛ ρ: چگالی؛ ui: جابه جایی

در اینجا، 3 معادله مستقل به همراه 6 مجهول (مؤلفه تنش) مستقل خواهیم داشت.

معادله کرنش-جابه جایی:

σij=Cijklεkl

Cijkl، بیانگر تانسور سختی است. در اینجا، 6 معادله مستقل مرتبط با تنش و کرنش وجود دارد. تقارن تانسورهای تنش و کرنش در این حالت باعث برابر بودن بسیاری از ثابت های الاستیک و کاهش تعداد المان های مختلف به 21 المان می شود.

مسائل مقدار مرزی الاستواستاتیک برای محیط های همگن و همسانگرد، یک دستگاه 15 معادله ای با 15 مجهول هستند. این دستگاه 3 معادله تعادل، 6 معادله کرنش-جابه جایی و 6 معادله مشخصه را شامل می شود.

با مشخص کردن شرایط مرزی، مسئله مقدار مرزی مورد نظر تکمیل خواهد شد. به منظور حل این دستگاه معادلات، می توان از دو رویکرد «فرمول بندی جابه جایی» (Displacement Formulation) و «فرمول بندی تنش» (Displacement Stress) استفاده کرد.

فرم دستگاه مختصات استوانه ای:
معادلات حرکت برای مختصات استوانه ای (r,θ,z) به صورت زیر نوشته می شوند:

روابط کرنش-جابه جایی نیز به صورت زیر هستند:

معادلات مشخصه مختصات استوانه ای با مختصات کارتزین تقریباً یکسان است؛ با این تفاوت که اندیس های 1,2,3 در مختصات کارتزین به ترتیب به اندیس های r,θ,z در مختصات استوانه ای تبدیل می شوند.

فرم دستگاه مختصات کروی:
معادلات حرکت برای مختصات کروی (r,θ,ϕ) به صورت زیر نوشته می شوند:

روابط مؤلفه های تانسور کرنش در مختصات کروی نیز به صورت زیر هستند: