تئوری پلاستیسیته جریان (Flow Plasticity Theory) تغییر شکل کوچک

تئوری پلاستیسیته جریان (Flow Plasticity Theory) تغییر شکل کوچک:
«پلاستیسیته جریان» (Flow plasticity)، یکی از تئوری های موجود در مکانیک جامدات است که به توصیف رفتار پلاستیک در مواد مختلف می پردازد.

تئوری های پلاستیسیته جریان بر مبنای فرضیات قانون جریان شکل گرفته اند. این فرضیات به منظور تعیین تغییر شکل پلاستیک مواد مورد استفاده قرار می گیرند.

در تئوری های پلاستیسیته جریان، فرض می شود که امکان تجزیه کرنش کل در یک جسم را به صورت حاصل جمع یا ضرب یک بخش الاستیک و یک بخش پلاستیک وجود دارد.

بخش الاستیک کرنش از طریق مدل های الاستیک خطی یا هایپرالاستیک قابل محاسبه است. اگرچه، برای تعیین بخش پلاستیک کرنش باید از یک قانون جریان و یک مدل سخت شوندگی استفاده کرد.

تئوری تغییر شکل کوچک:
منحنی تنش-کرنش زیر را در نظر بگیرید. در این منحنی، نمونه ای از رفتار پلاستیک معمول مواد تحت فشار نمایش داده شده است.

کرنش در این منحنی را می توان به دو بخش کرنش الاستیک قابل بازگشت (εe) و کرنش غیر الاستیک (εp) تجزیه کرد.

تنش در نقطه تسلیم اولیه، σ0 است. برای موادی با خاصیت سخت شوندگی کرنش، با افزایش تغییر شکل پلاستیک، مقدار تنش تسلیم تا مقدار σy افزایش می یابد.

تئوری های پلاستیسیته معمول (برای تغییر شکل های کوچک با پلاستیسیته کامل یا پلاستیسیته سخت شوندگی)، بر اساس قواعد زیر توسعه یافته اند:

• ماده دارای یک محدوده الاستیک خطی است (E).
• ماده دارای یک حد الاستیک است (تنش σ0 که در آن تغییر شکل پلاستیک شروع می شود).
• پس از حد الاستیک، حالت تنش همیشه بر روی سطح تسلیم قرار خواهد داشت (σ=σy).
• به حالتی که میزان افزایش تنش بیش تر از صفر باشد (dσ>0)، بارگذاری گفته می شود. در صورتی که بارگذاری باعث رسیدن حالت تنش به محدوده پلاستیک شود، افزایش کرنش پلاستیک همیشه بیشتر از صفر خواهد بود (dεp>0).
• به حالتی که افزایش میزان تنش کوچک تر از صفر باشد (dσ<0)، li="">
• کرنش کل، یک ترکیب خطی از بخش های الاستیک و پلاستیک کرنش است (dε=dεe+dεp). بخش پلاستیک کرنش قابل بازگشت نیست؛ در صورتی که بخش الاستیک به طور کامل بازیابی می شود.
• کار انجام شده در طی چرخه بارگذاری-باربرداری، مثبت یا صفر است (dσ*dε=dσ*(dεe+dεp)≥0). این قاعده با عنوان «اصل پایداری دراکر» (Drucker Stability Postulate) نیز شناخته می شود و احتمال وجود رفتار نرم شوندگی کرنش را حذف می کند.

قواعد بالا در فضای سه بعدی را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

الاستیسیته (قانون هوک): در محیط های الاستیک خطی، رابطه بین تنش و کرنش ماده به صورت زیر است:

D: ماتریس سختی با مقدار ثابت است.

حد الاستیک (سطح تسلیم): حد الاستیک توسط سطح تسلیمی تعریف می شود که به کرنش پلاستیک وابسته نیست.رابطه کلی حد الاستیک به صورت است:

محدوده پس از حد الاستیک: برای سنگ هایی که دارای خاصیت سخت شوندگی کرنش هستند، سطح تسلیم با افزایش کرنش پلاستیک توسعه می یابد و محل حد الاستیک تغیر می کند. توسعه سطح تسلیم دارای فرم کلی زیر است:

بارگذاری: تعمیم شرط dσ>0 به فضای سه بعدی، مخصوصاً برای خاصیت پلاستیسیته سنگ ها کار ساده ای نیست. پلاستیسیته سنگ ها، علاوه بر تنش انحرافی به تنش میانگین نیز وابسته خواهد بود.

با این وجود، در حین بارگذاری f≥0 و فرض می شود که جهت گیری کرنش پلاستیک با بردار نرمال سطح تسلیم (f/∂σ∂) یکسان است و dεp≥dσ. یعنی:

صفر بودن معادله بالا، حالت بارگذاری خنثی را نمایش می دهد. در این نوع بارگذاری، حالت تنش در امتداد سطح تسلیم حرکت می کند، بدون اینکه تغییری در کرنش پلاستیک ایجاد شود.

باربرداری: مبحث باربرداری نیز مشابه بارگذاری است. در اینجا برای f<0، :="" p="">

تجزیه مؤلفه های کرنش: تجزیه مؤلفه های کرنش به حاصل جمع بخش های کرنش الاستیک و پلاستیک به صورت زیر نوشته می شود:

اصل پایداری: اصل پایداری توسط رابطه زیر بیان می شود:

قانون جریان:
در پلاستیسیته فلزات، فرض یکسان بودن جهات اصلی افزایش کرنش پلاستیک و تانسور تنش انحرافی توسط رابطه ای به نام «قانون جریان» (Flow Rule) نمایش داده می شود. تئوری های مرتبط با پلاستیسیته سنگ ها نیز از مفهوم مشابه ای بهره می گیرند.

با این تفاوت که وابستگی سطح تسلیم به پارامتر فشار به یک «آسایش» (Relaxation) نیاز دارد.

به جای این کار، معمولاً فرض می شود که افزایش کرنش پلاستیک و بردار نرمال سطح تسلیم وابسته به فشار، دارای جهت یکسانی هستند. به عبارت دیگر:

dλ>0، پارامتر سخت شوندگی را نشان می دهد. این فرم از قانون جریان با عنوان «قانون جریان همراه» (Associated Flow Rule) و فرض یکسان بود جهات با عنوان «شرط نرمال بودن» (Normality Condition) شناخته می شود. به تابع f، «تابع پتانسیل پلاستیک» (Plastic Potential Function) نیز می گویند.

قانون بالا برای تغییر شکل های کاملاً پلاستیک در شرایط dσ=0 و dεp≥0 به سادگی تعمیم داده می شود. در این حالت، سطح تسلیم در هنگام افزایش تغییر شکل پلاستیک ثابت باقی می ماند.

با توجه به قانون هوک، این موضوع بر صفر بودن میزان افزایش کرنش الاستیک (dεe=0) دلالت خواهد داشت. بنابراین داریم:

و

از این رو، بردار نرمال سطح تسلیم و تانسور کرنش پلاستیک بر تانسور تنش عمود هستند و در نتیجه باید جهت یکسانی داشته باشند.

برای موادی با خاصیت کرنش سخت شوندگی، امکان گسترش سطح تسلیم با افزایش تنش وجود دارد. بر اساس فرضیه دوم پایداری دراکر، برای یک چرخه تنش بسیار کوچک، کرنش تغییرات پلاستیک مثبت خواهد بود. به عبارت دیگر:

کمیت بالا در چرخه های کاملاً الاستیک برابر با صفر است. به منظور تصدیق اعتبار قانون جریان همراه می توان کار انجام شده در طی یک چرخه بارگذاری-باربرداری پلاستیک را مورد ارزیابی قرار داد.

شرط سازگاری:
«شرط سازگاری پراگر» (Prager Consistency Condition) به منظور بستن مجموعه معادلات مشخصه و حذف پارامتر مجهول dλ از دستگاه معادلات مورد استفاده قرار می گیرد. با توجه به این شرط، به دلیل f(σ,εp)=0 در نقطه تسلیم df=0 خواهد بود و به این ترتیب داریم: