آشنایی با الاستیسیته و مفهوم آن در مواد مختلف

آشنایی با الاستیسیته و مفهوم آن در مواد مختلف:
اگر به یک جسم جامد به اندازه کافی نیرو وارد شود، مقداری تغییر شکل در آن رخ خواهد داد. در صورت «الاستیک» (Elastic) یا اصطلاحاً کشسان بودن ماده، شکل و اندازه جسم پس از حذف نیرو به حالت اولیه خود بازمی گردد. دلایل فیزیکی رفتار الاستیک در مواد مختلف تقریباً متفاوت است.

هنگام اعمال نیرو بر روی فلزات، اندازه و شکل ماده از طریق شبکه اتمی آن ها تغییر می کند (افزایش سطح انرژی). با حذف نیرو، شبکه به سطح انرژی پایین تر بازمی گردد.

برای مواد لاستیکی و دیگر پلیمرها، کشش زنجیره های پلیمری در هنگام اعمال نیرو باعث ایجاد خاصیت الاستیسیته می شود.

«الاستیسیته کامل» (Perfect Elasticity)، معیاری برای تخمین الاستیسیته مواد در دنیای واقعی است. فیبر کوارتز، بیشترین خاصیت الاستیک در میان مواد مختلف را دارد. با این وجود، حتی این ماده یک جسم الاستیک کامل نیست.

از این رو، ماده کاملاً الاستیک تنها یک تعریف ایدئال در نظر گرفته می شود. اکثر مواد دارای الاستیسیته، تنها در صورت ایجاد تغییر شکل های بسیار کوچک رفتار کاملاً الاستیک را از خود بروز می دهند. در علوم مهندسی، میزان الاستیسیته یک ماده با استفاده از دو نوع پارامتر محاسبه می شود:

«مدول» (Modulus):
این نوع پارامتر، میزان نیروی مورد نیاز در واحد سطح برای رسیدن به یک تغییر شکل مشخص را تعیین می کند. واحد اندازه گیری مدول پاسکال (Pa) است. معمولاً در مدول بالاتر، تغییر شکل ماده دشوارتر می شود.

«حد الاستیک» (Elastic Limit):
این پارامتر، بیانگر حداکثر تنشی است که ماده می تواند پیش از شروع تغییر شکل دائمی تحمل کند. مقدار حد الاستیک نیز با واحد پاسکال (Pa) بیان می شود.

برای مقایسه نسبی دو ماده از نظر الاستیسیته، باید هر دو پارامتر مدول و حد الاستیک را در نظر گرفت. مواد لاستیکی معمولاً دارای مدولی با مقادیر پایین هستند و همچنین تمایل زیادی به کشیده شدن دارند. این موضوع، بالا بودن حد الاستیک این مواد را نشان می دهد.

الاستیسیته مواد لاستیکی از فلزات بالاتر است. فلزات دارای مدول بالا و حد الاستیک پایین هستند. از بین دو ماده لاستیکی با حد الاستیک برابر، به نظر می رسد که ماده ای با مدول کمتر، خاصیت الاستیسیته بیشتری خواهد داشت اما این گونه نیست.

مفهوم الاستیسیته کاربرد گسترده ای در طراحی و تحلیل سازه هایی نظیر تیرها، صفحات، ورق ها و کامپوزیت های ساندویچی دارد.

این تئوری مبنای بسیاری از مباحث حوزه مکانیک شکست است. علاوه بر این، خاصیت هایپر الاستیسیته نیز به منظور ارزیابی واکنش مواد الاستومری مانند درزبندها و مواد بیولوژیکی مانند بافت های نرم و غشاهای سلولی مورد استفاده قرار می گیرد.

مفهوم الاستیسیته در مواد مختلف:
هنگامی که یک ماده الاستیک به دلیل وجود نیروی خارجی تغییر شکل می دهد، مقداری مقاومت داخلی در برابر این تغییر درون ماده به وجود می آید. در صورت توقف اعمال نیروی خارجی، ماده به حالت اولیه خود بازمی گردد.

مدول های الاستیک عبارت اند از:
مدول یانگ، مدول برشی و مدول حجمی.

این مدول ها، معیاری برای نمایش خواص الاستیک ذاتی مواد و مقاومت آن ها در برابر تغییر شکل های ناشی از بارگذاری هستند. هر یک از مدول های الاستیک برای یک نوع تغییر شکل مورد استفاده قرار می گیرد. به عنوان مثال، مدول یانگ برای بیان کشش یا تراکم یک جسم و مدول برشی برای بیان برش آن جسم استفاده می شود.

الاستیسیته مواد مختلف توسط منحنی تنش-کرنش آن ها تعیین می شود. این منحنی، رابطه بین تنش (میانگین نیروی داخلی بر واحد سطح) و کرنش (تغییر شکل نسبی) ماده را نمایش می دهد.

منحنی تنش-کرنش معمولاً به صورت غیر خطی است اما برای تغییر شکل های نسبتاً کوچک (قابل اغماض بودن عبارت های مرتبه بالا) می توان آن را با استفاده از بسط تیلور به صورت یک منحنی خطی تخمین زد. به رابطه خطی تنش-کرنش در مواد همسانگرد، قانون هوک گفته می شود.

در اغلب موارد، این قانون تا قبل از حد الاستیک در منحنی تنش-کرنش مواد بلوری و فلزات قابل اعمال است. در حالی که برای تعیین رفتار الاستیسیته غیر خطی حتی در محدوده الاستیک باید از مدل سازی تغییر شکل های بزرگ مواد لاستیکی استفاده کرد.

در تنش های بالا، مواد به صورت پلاستیک رفتار می کنند. در این حالت، تغییر شکل ایجاد شده برگشت پذیر نخواهد بود و ماده پس از باربرداری به شکل اولیه خود بازنمی گردد.

برای مواد شبه لاستیکی نظیر الاستومرها، شیب منحنی تنش-کرنش در تنش های بالا افزایش می یابد. این موضوع نشان می دهد که با افزایش تنش، کشش مواد لاستیکی به تدریج دشوارتر می شود.

در طرف مقابل، شیب منحنی تنش-کرنش اکثر فلزات در تنش های بالا کاهش می یابد. به این ترتیب، با افزایش تنش در این مواد، کشش آن ها به تدریج آسان تر می شود.

خاصیت الاستیسیته، تنها برای جامدات نیست. برخی از سیالات غیر نیوتونی مانند سیالات ویسکو الاستیک نیز در شرایط خاص این خاصیت را از خود بروز می دهند.

رفتار الاستیک سیالات با استفاده از «عدد دبورا» (Deborah Number) نمایش داده می شود. سیالات ویسکو الاستیک در مواجه با کرنش های کوچک یا بارگذاری و باربرداری سریع تغییر شکل می دهند و سپس به حالت اولیه خود بازمی گردند.

از سوی دیگر، هنگام ایجاد کرنش های بزرگ یا اعمال کرنش در دوره های طولانی مدت، این سیالات مانند یک مایع ویسکوز جریان می یابند.

الاستیسیته مواد با توجه به رابطه بین تنش و کرنش آن ها تعریف می شود. از این رو، ارائه یک تعریف واضح برای تنش و کرنش از اهمیت بالایی برخوردار است. معمولاً دو نوع رابطه در این حوزه وجود دارد:

• رابطه موادی که فقط در کرنش های کوچک به صورت الاستیک رفتار می کنند.
• رابطه موادی که رفتار الاستیک آن ها به کرنش های کوچک محدود نمی شود (این رابطه تعریف کلی تری دارد و رابطه اول به عنوان یک حالت خاص از آن به حساب می آید).

در کرنش های کوچک، «تنش کوشی» (Cauchy Stress) به عنوان معیار تنش و «تانسور کرنش بسیار کوچک» (Infinitesimal Strain Tensor) به عنوان معیار کرنش مورد استفاده قرار می گیرند.

رفتار (قابل انتظار) مواد در این حالت، «الاستیسیته خطی» (Linear Elasticity) نام دارد که برای مواد همگن با عنوان قانون هوک تعمیم یافته شناخته می شود. مواد الاستیک کوشی و مواد هایپو الاستیک مدل هایی هستند که امکان تعمیم قانون هوک به منظور در نظر گرفتن احتمال وجود چرخش های بزرگ، اعوجاج های بزرگ و ناهمسانگردی ذاتی یا القایی را فراهم می کنند.

در شرایط کلی تر، می توان هر یک از معیارهای تنش را مورد استفاده قرار داد. با این وجود، توصیه می شود که رابطه بین تنش و کرنش الاستیک با توجه به معیار کرنش محدودی نوشته شود که مزدوج کارِ معیار تنش انتخابی است.

به عبارت دیگر، انتگرال ضرب داخلی معیار تنش و نرخ معیار کرنش نسبت به زمان باید با تغییرات انرژی داخلی تمام فرآیندهای بی در رو پایین تر از حد الاستیک برابر باشد.

الاستیسیته خطی:
همان گونه که در بخش قبلی اشاره شد؛ در تغییر شکل های کوچک، اکثر مواد الاستیک مانند فنرها دارای خاصیت الاستیسیته خطی هستند.

این خاصیت را می توان توسط یک رابطه خطی بین تنش و کرنش نمایش داد که با عنوان قانون هوک شناخته می شود. قانون هوک، رابطه بین نیروی کششی (F) و جابه جایی کششی ناشی از این نیرو (x) را نمایش می دهد:

در معادله بالا، k، ثابتی است که با عنوان نرخ یا ثابت فنر شناخته می شود. قانون هوک را می توان به صورت رابطه بین تنش و کرنش نیز بیان کرد:

E: مدول الاستیک یا مدول یانگ

ثابت تناسب بین تنش و کرنش در سه بعد، یک تانسور مرتبه چهار به نام «سختی» (Stiffness) است. با این وجود، برای سیستم های دارای تقارن مانند یک میله یک بعدی، امکان کاهش مرتبه سختی و بهره گیری از قانون هوک وجود دارد.

الاستیسیته محدود:
رفتار الاستیک موادی که تحت تغییر شکل های محدود هستند، توسط مدل هایی نظیر الاستیک کوشی، هایپو الاستیک و هایپرالاستیک توصیف می شود. گرادیان تغییر شکل (F)، اولین معیار تغییر شکلی است که در تئوری کرنش محدود مورد استفاده قرار می گیرد.

مدل رفتاری الاستیک کوشی:
در مواد الاستیک کوشی، تانسور تنش کوشی (σ) تنها تابعی از گرادیان تغییر شکل است:

به طور کلی، تنش کوشی صرفاً تابعی از یک تانسور کرنش نیست زیرا چنین مدلی فاقد اطلاعات مهم راجع به چرخش ماده است. این اطلاعات برای به دست آوردن نتایج صحیح در محیط های ناهمسانگرد ضروری هستند.

در صورت اعمال یک کشش عمودی به یک ماده ناهمسانگرد یا اعمال همان کشش به صورت افقی و دوران 90 درجه ای ماده، تانسور کرنش در هر دو حالت با هم برابر می شود اما مقادیر تانسور تنش کوشی متفاوت خواهند بود.

با اینکه تنش مواد الاستیک کوشی تنها به حالت تغییر شکل بستگی دارد، کار انجام شده توسط تنش ها به مسیر تغییر شکل وابسته است.

از این رو، الاستیسیته کوشی، هم مدل های غیر محافظه کارانه غیر هایپرالاستیک (وابستگی کار ناشی از تغییر شکل به مسیر) و هم مدل های محافظه کارانه هایپرالاستیک (محاسبه تنش از طریق مشتق یک تابع اسکالر پتانسیل الاستیک) را دربرمی گیرد.

مدل رفتاری هایپو الاستیک:
اگر بتوان ماده ای را با استفاده از یک معادله مشخصه صادق در معیارهای زیر مدل سازی کرد، به آن ماده هایپو الاستیک گفته می شود:

مقدار تنش کوشی (σ) در زمان t، صرفاً به ترتیب شکل گیری پیکربندی های قبلی جسم بستگی داشته و هیچ ارتباطی با مدت زمان تغییر این پیکربندی های ندارد. مواد الاستیک کوشی، یکی از موارد به خصوص در این معیار هستند که تنش فعلی آن ها به پیکربندی فعلی وابسته بوده و به پیکربندی های قبلی مرتبط نیست.

برای مواد هایپو الاستیک، یک تابع تانسوری G در نظر گرفته می شود که در رابطه σ˙=G(σ,L) مورد استفاده قرار می گیرد.˙σ، نرخ تانسور تنش کوشی ماده و L، تانسور گرادیان سرعت است.

در صورت تعریف خاصیت هایپو الاستیسیته با استفاده از دو معیار بالا، هایپر الاستیسیته را می توان به عنوان یک حالت خاص از رفتار هایپو الاستیک در نظر گرفت.

این موضوع منجر به تعیین معیار سومی برای ایجاد تمایز بین مدل های هایپو الاستیک و هایپر الاستیک می شود (در هایپو الاستیسیته، پارامتر تنش از طریق مشتق انرژی پتانسیل قابل محاسبه نیست).

اگر معیار سوم اتخاذ شود، ماده هایپو الاستیک می تواند از مسیرهای بارگذاری بی در رو (غیر محافظه کارانه) پیروی کند. گرادیان تغییر شکل در ابتدا و انتهای این مسیرها یکسان است اما انرژی داخلی در طی آن ها تغییر می کند.

مدل رفتاری هایپر الاستیک:
مواد هایپر الاستیک با عنوان «مواد الاستیک گرین» (Green Elastic Materials) نیز شناخته می شوند. این مواد، مدل های محافظه کارانه ای هستند که از تابع چگالی انرژی کرنشی (W) به دست می آیند.

یک مدل هایپر الاستیک است؛ اگر و تنها اگر امکان تعریف تانسور تنش کوشی آن به عنوان تابعی از گرادیان تغییر شکل وجود داشته باشد. رابطه این مدل به صورت زیر بیان می شود:

که در آن:

در رابطه بالا، انرژی پتانسیل (W) به عنوان تابعی از گرادیان تغییر شکل (F) در نظر گرفته می شود. با استفاده از یک رویکرد دیگر می توان انرژی پتانسیل را به صورت تابعی از تانسور تغییر شکل کوشی-گرین (C:=FTF) بیان کرد. در این حالت، رابطه معرف مدل هایپر الاستیک به صورت زیر است:

که در آن

عوامل مؤثر بر الاستیسیته:
عوامل مؤثر در الاستیسیته مواد به دو دسته عوامل ماکروسکوپی و میکروسکوپی تقسیم می شوند. حضور شکستگی ها در مواد همسانگرد باعث تغییر مدول یانگ و مدول برشی در راستای عمود بر سطح گسستگی می شود.

با افزایش چگالی شکستگی ها، مقدار هر یک از این مدول ها کاهش می یابد. این مسئله بیانگر شکننده تر شدن یک جسم در اثر حضور ناپیوستگی است (عوامل ماکروسکوپی).

به طور کلی، رابطه بین تنش و کرنش مواد در مقیاس میکروسکوپی توسط یک کمیت ترمودینامیکی به نام «انرژی آزاد هلمولتز» (Helmholtz Free Energy) کنترل می شود. جای گیری مولکول ها در پیکربندی در جهت به حداقل رساندن انرژی آزاد است.

نحوه جای گیری مولکول ها به محدودیت های ناشی از ساختار آن ها و غالب بودن انرژی یا آنتروپی بر انرژی آزاد بستگی دارد. با توجه به این موارد، مواد به دو دسته کلی «انرژی-الاستیک» (Energy-Elastic) و «آنتروپی-الاستیک» (Entropy-Elastic) تقسیم بندی می شوند.

به این ترتیب، عوامل میکروسکوپی مؤثر بر انرژی آزاد نظیر فاصله تعادلی بین مولکول ها می توانند بر روی الاستیسیته مواد تأثیرگذار باشند.

به عنوان مثال، با افزایش فاصله تعادلی بین مولکول های مواد معدنی در دمای 0 کلوین، مدول حجمی آن ها کاهش می یابد.

دما، یکی دیگر عوامل مهم در الاستیسیته مواد به حساب می آید. نادیده گرفتن تأثیر دما بر روی این خاصیت کار دشواری است زیرا عوامل زیادی با این پارامتر در ارتباط هستند.

به عنوان مثال، مدول حجمی یک ماده به شکل شبکه، رفتار آن در هنگام انبساط و همچنین ارتعاش مولکول ها وابسته است و تمام این عوامل به دما بستگی دارند.