مقایسه روش المان محدود با روش تفاضل محدود

مقایسه روش المان محدود با روش تفاضل محدود:
«روش تفاضل محدود» (Finite Difference Method) یا اصطلاحاً «FDM»، یکی از روش های جایگزین FEM برای تخمین معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است.

موارد زیر، تفاوت ها و شباهت های بین FEM و FDM را بیان می کنند:
جذاب ترین ویژگی FEM، مدل سازی نسبتاً راحت هندسه و شرایط مرزی پیچیده است. المان های FDM باید به صورت مستطیلی شکل باشند در صورتی که تغییرات هندسه مدل در FEM از نظر تئوری نیز ساده است.

معمولاً از FDM برای هندسه های نامنظم استفاده نمی شود. در اغلب موارد، مدل های بلوکی یا مستطیلی با استفاده از این روش مورد تحلیل قرار می گیرند.

جذاب ترین ویژگی FDM، اجرای آسان تحلیل است.

در برخی از موارد می توان FDM را یک حالت خاص از FEM در نظر گرفت. در معادله پوآسن، اگر مسئله با استفاده از مش های مستطیلی مدل سازی و هر مستطیل به دو مثلث تقسیم شود، FEM مرتبه اول با FDM یکسان خواهد بود.

دلایل زیادی برای منطقی تر بودن مبانی ریاضی FEM وجود دارد. به عنوان مثال، کیفیت تخمین مقادیر بین نقاط گره ای در FDM پایین تر از FEM است.

مقدار تخمین هایی که با استفاده FEM به دست می آیند، در اغلب موارد بیشتر از مقدار به دست آمده از FDM هستند. البته این موضوع وابستگی زیادی به نوع مسئله دارد و در برخی از موارد نتایج عکس نیز مشاهده شده است.

در مکانیک سازه ها، به منظور اجرای انواع مختلف تحلیل ها (مانند تحلیل تغییر شکل و تنش های موجود در اجسام صلب یا رفتار دینامیکی سازه)، معمولاً FEM به عنوان انتخاب اصلی در نظر گرفته می شود.

در حالی که برای مسائل مربوط به «دینامیک سیالات محاسباتی» (Computational Fluid Dynamics) یا اصطلاحاً «CFD»، روش هایی نظیر FDM یا «روش حجم محدود» (Finite Volume Method) یا به اختصار «FVM» مورد استفاده قرار می گیرد.

معمولاً در مسائل حوزه CFD، یک مسئله به تعداد بسیار زیادی سلول یا نقطه گره ای (Gridpoint) تقسیم می شود.

از این رو، با توجه به زمان و تجهیزات احتمالی مورد نیاز، برای تخمین ویژگی های درون هر سلول، استفاده از روش های ساده تر به همراه الگوریتم هایی با مرتبه پایین تر در اولویت قرار می گیرد.

این موضوع، برای مسائلی با «جریان خارجی» (External Flow) مانند جریان هوا در اطراف یک خودرو یا هواپیما و شبیه سازی وضعیت آب و هوا نیز صادق است.