انواع روش های المان محدود

انواع روش های المان محدود:
در این بخش به معرفی انواع روش های المان محدود می پردازیم و برخی از آن ها را به طور مختصر توضیح می دهیم.

«روش المان کاربردی» (Applied Element Method) یا «AEM»:
AEM، یک روش تحلیل عددی برای پیش بینی رفتار سازه های پیوسته و ناپیوسته است. این روش برای ارزیابی آسیب پذیری سازه ها (خرابی پیش رونده، تحلیل انفجار، تحلیل ضربه و تحلیل لرزه ای)، مهندسی قانونی، طراحی مبتنی بر عملکرد، تحلیل تخریب، تحلیل عملکرد شیشه و ایجاد جلوه های بصری به کار می رود.

«روش المان محدود تعمیم یافته» (Generalized Finite Element Method) یا «GFEM»:
GFEM، به منظور بهبود تخمین های محلی در مدل های المان محدود توسعه یافته است. استفاده از این روش مسائلی با شرایط مرزی پیچیده، مقیاس میکرو و لایه های مرزی پیشنهاد می شود.

«روش المان محدود ترکیبی» (Mixed Finite Element Method):
این روش با عنوان «Hybrid Finite Element Method» نیز می گویند. در این روش، هنگام گسسته سازی معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی، چندین متغیر مستقل به عنوان متغیرهای گره ای به مسئله افزوده می شوند. این روش برای مسائلی مناسب است که از نظر عددی «بدطرح» (Ill-Posed) هستند.

به عنوان مثال، تعیین میدان تنش و کرنش در یک جسم تقریباً تراکم ناپذیر، یک مسئله بدطرح به حساب می آید.

«نسخه hp روش المان محدود» (hp-version of Finite Element Method) یا «hp-FEM»:
hp-FEM، فرم کلی روش المان محدود استاندارد است که برای حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی از رویکرد تخمین چندجمله ای های تکه ای استفاده می کند.

در سال 1992، «بابوسکا و همکاران» (.Babuska et al) دریافتند که در صورت تقسیم بندی المان ها به بخش های کوچک تر (نسخه h) و افزایش مرتبه چندجمله ای آن ها (نسخه p)، سرعت همگرایی روش المان محدود به صورت نمایی افزایش می یابد.

این ویژگی باعث جذابیت بیشتر hp-FEM نسبت به دیگر روش های المان محدود می شود. با این وجود، با توجه به عواملی نظیر زمان مورد نیاز برای تحلیل، درک مبانی ریاضی، اجرای تحلیل و غیره، استفاده از این روش نسبت به روش استاندارد چالش برانگیزتر است.

«روش المان محدود توسعه یافته» (Extended Finite Element Method) یا «XFEM»:
XFEM، یک روش عددی بر پایه GFEM و «روش تقسیم واحد» (Partition of Unity Method) یا اصطلاحاً «PUM» است.

این روش به منظور حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، با افزودن توابع ناپیوسته به فضای حل مسئله روش المان محدود قدیمی را توسعه می دهد. به این ترتیب، امکان بهره گیری از ویژگی های مرتبط با ناپیوستگی ها، تکینگی های جبری، لایه های مرزی، مش بندی معمولی ریزساختارها و غیره فراهم می شود.

نتایج به دست آمده از XFEM، بهبود دقت و نرخ همگرایی را نشان می دهند. به علاوه، به دلیل عدم نیاز به مش بندی مجدد سطوح ناپیوستگی ها در این روش، زمان محاسباتی و خطاهای رایج در روش های مرسوم المان محدود کاهش می یابد.

نرم افزارهایی نظیر «xfem++ 3»، «GetFEM++ 2» و «++openxfem»، از روش XFEM برای تحلیل مسائل مختلف استفاده می کنند.

این روش در کدهایی نظیر «ASTER»، «Morfeo»، «Radioss» و نرم افزارهای معروف «آباکوس» (Abaqus) و «انسیس» (ANSYS) نیز به کار گرفته می شود.

«روش المان محدود مرزی مقیاس شده» (Scaled Boundary Finite Element Method) یا «SBFEM»:
SBFEM، در سال 1997 توسط «سانگ» (Song) و «وُلف» (Wolf) معرفی شد. این روش مفیدترین مشارکت صورت گرفته در حوزه تحلیل عددی مسائل مربوط به مکانیک شکستگی به حساب می آید. SBFEM از نقاط قوت فرآیندها و مبانی ریاضی روش المان محدود و همچنین فرآیند گسسته سازی روش المان مرزی بهره می برد.

«روش المان محدود هموار» (Smoothed Finite Element Method) یا «S-FEM»:
روش های المان محدود هموار، دسته ای از الگوریتم های شبیه سازی عددی برای شبیه سازی پدیده های فیزیکی به شمار می روند.

این روش ها از ترکیب روش های بدون مش با روش المان محدود توسعه یافته اند. S-FEM برای مسائلی مانند مکانیک سازه های جامد و پیزو الکتریک، مکانیک شکست و رشد ترک، مسائل غیرخطی، تحلیل های تصادفی، انتقال حرارت، آکوستیک سازه ها، مدل سازی پلاستیسیته بلورها و غیره کاربرد دارد.

«روش المان طیفی» (Spectral element method) یا «SEM»:
روش های المان طیفی، پیچیدگی هندسی المان های محدود و دقت بالای روش های طیفی را با هم ترکیب می کنند. SEM برای تشخیص عیب و نقص های کوچک سازه کاربرد دارد. نحوه مدل سازی هندسه های پیچیده در این روش نسبت به روش المان محدود دشوارتر است.

«روش های بدون مش» (Meshfree Methods):
در حوزه تحلیل عددی، روش های بدون مش به روش هایی اطلاق می شود که در آن ها نیازی به ایجاد ارتباط بین تمام گره های مدل وجود ندارد. با این وجود، فعل و انفعالات بین هر گره با گره های اطراف آن در نظر گرفته می شود.

به این ترتیب، به جای اختصاص خواصی نظیر جرم یا انرژی جنبشی به المان های مش، هر یک از این خواص برای گره های منفرد تخصیص می یابند.

روش های بدون مش می توانند برخی مسائل دشوار را با صرف زمان محاسباتی و برنامه نویسی بیشتر شبیه سازی کنند. این روش ها برای شبیه سازی هندسه های پیچیده، ایجاد ترک، خمش، رفتار غیرخطی، ناپیوستگی ها و تکینگی مفید هستند.

«روش های گالرکین ناپیوسته» (Discontinuous Galerkin Methods):
در ریاضیات کاربردی، روش های گالرکین ناپیوسته گروهی از روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل به حساب می آیند.

این روش ها، ویژگی های رویکرد المان محدود و حجم محدود را با هم ترکیب می کنند. در مسائل حوزه های الکترودینامیک، مکانیک سیالات و فیزیک پلاسما، تمایل زیادی به استفاده از روش های گالرکین ناپیوسته وجود دارد.

«تحلیل حدی المان محدود» (Finite Element Limit Analysis) یا «FELA»:
در FELA، از روش های بهینه سازی برای محاسبه مستقیم کران های بالا و پایین بار شکست پلاستیک برای یک سیستم مکانیکی استفاده می شود.

کاربرد اصلی این روش در حوزه مکانیک خاک و به منظور تعیین بارهای مورد نیاز برای ایجاد شکست در مسائل ژئوتکنیکی (تحلیل پایداری شیب) است. نرم افزارهای «OptumG2» و «OptumG3» از مبانی FELA برای تحلیل مسائل ژئوتکنیکی بهره می برند.

«روش شبکه کشیده» (Stretched Grid Method) یا (SGM):
روش شبکه کشیده، یک روش عددی برای یافتن راه حل های تقریبی در مسائل مهندسی و ریاضی است. هواشناسان از این روش برای پیش بینی آب و هوا استفاده می کنند. در علوم مهندسی نیز از SGM برای طراحی سقف ها و دیگر سازه های کششی استفاده می شود.

«تکرار لوبیگناک» (Loubignac iteration):
در ریاضیات کاربردی، تکرار لوبیگناک یک روش تکراری در روش های المان حدی است.

این روش که در سال 1977 توسط «ژیل لوبیگناک» (Gilles Loubignac) معرفی شد، میدان تنش پیوسته را به دست می آورد. تکرار لوبیگناک برای تحلیل استاتیک المان حدی مورد استفاده قرار می گیرد.