مفاهیم اساسی روش المان محدود:
همان گونه که اشاره شد، محدوده مسئله مورد تحلیل با روش المان محدود، به بخش های کوچک تر و ساده تر تقسیم می شود. این تقسیم بندی دارای چندین مزیت است:
فرآیند کلی حل مسئله در روش المان محدود دارای دو مرحله است. در ابتدا، محدوده مسئله به مجموعه ای از محدوده های کوچک تر تقسیم می شود. هر یک از این محدوده های کوچک بیانگر یک دستگاه معادلات مختص به هر یک از المان ها هستند.
در ادامه، تمام این دستگاه ها به منظور انجام محاسبات نهایی در کنار یکدیگر قرار می گیرند. این دستگاه معادلات کلی را می توان با استفاده از مقادیر اولیه مسئله اصلی حل کرد و نتایج عددی مربوط به آن را به دست آورد.
در ادامه، هر یک از مراحل حل مسئله با استفاده از FEM را به طور تخصصی توضیح می دهیم.
در مرحله اول، معادله مرتبط با هر یک از المان ها به صورت مجموعه معادلات ساده ای است که معادلات پیچیده اصلی (اغلب معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی) را در نواحی مختلف تخمین می زند.
برای انجام این تخمین، معمولاً FEM به عنوان حالت خاص «روش گالرکین» (Galerkin Method) در نظر گرفته می شود.
این فرآیند در ریاضیات، با انتگرال گیری از ضرب داخلی توابع وزنی و باقیمانده و همچنین برابر با صفر قرار دادن حاصل انتگرال صورت می گیرد. به عبارت ساده تر، این فرآیند با برازش توابع آزمایشی به معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، میزان خطای تخمین را به حداقل می رساند.
مقدار باقیمانده، خطای به دست آمده از توابع آزمایشی است. توابع وزنی نیز توابع تقریب چندجمله ای هستند که میزان باقیمانده را نشان می دهند.
فرآیند مذکور، تمام مشتقات فضایی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی را حذف می کند و آن ها را از طریق دو دستگاه زیر به صورت ناحیه ای تخمین می زند:
این دو دستگاه معادلات مختص به المان های مسئله هستند. اگر معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به صورت خطی باشند، معادلات المان ها نیز خطی خواهند بود و بالعکس.
معادلات جبری به دست آمده از مسائل حالت پایدار با استفاده از روش های جبر خطی عددی حل می شوند؛ در حالی که حل معادلات دیفرانسیل معمولی به دست آمده از مسائل گذرا توسط روش های استاندارد انتگرال گیری عددی نظیر روش اویلر یا «رونگه‐کوتا» (Runge-Kutta) صورت می گیرد.
در مرحله دوم، یک دستگاه معادلات کلی با استفاده از معادلات مربوط به المان ها تشکیل می شود. این فرآیند از طریق تبدیل مختصات گره های محلی محدودهای کوچک به گره های کلی محدوده اصلی صورت می گیرد.
برای انجام این تبدیلات فضایی به تنظیم جهت گیری مناسب نسبت به دستگاه مختصات مرجع نیاز است.
در اغلب موارد، این عملیات توسط نرم افزاری مبتنی بر FEM و با استفاده از داده های مختصاتی به دست آمده از محدوده های کوچک اجرا می شود.
درک روش المان محدود با استفاده از کاربرد عملی آن یعنی «تحلیل المان محدود» (Finite Element Analysis) یا اصطلاحاً «FEA» ساده تر است.
FEA، یک ابزار محاسباتی برای اجرای تحلیل های مهندسی است. این ابزار از روش های تولید مش برای تقسیم بندی یک مسئله پیچیده به المان های کوچک و کدهای نرم افزاری الگوریتم های FEM بهره می برد.
در هنگام به کارگیری FEA، یک مسئله پیچیده معمولاً به صورت یک سیستم فیزیکی بر مبنای قواعدی نظیر «معادله تیر اویلر-برنولی» (Euler-Bernoulli Beam Equation)، «معادله گرما» (Heat Equation) یا «معادلات ناویه-استوکس» (Navier-Stokes Equations) در نظر گرفته می شود که توسط معادلات انتگرالی یا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی بیان شده است.
هر یک از المان های کوچک این مسئله پیچیده، نواحی مختلف سیستم فیزیکی تعریف شده را نشان می دهند.
به منظور تحلیل مسائلی با محدوده های بسیار پیچیده (ماشین ها و خطوط انتقال نفت)، محدوده های متغیر (در حین واکنش حالت جامد به همراه تغییر مرز)، نیاز به دقت های متفاوت در بخش های مختلف محدوده یا عدم هموار بودن روش حل، FEA گزینه مناسبی خواهد بود.
در شرایطی که نیاز به ساخت نمونه های اولیه با دقت بالا باشد، شبیه سازی های FEA با فراهم کردن یک ابزار ارزشمند، تعداد نمونه های مورد نیاز را کاهش می دهند.
به عنوان مثال، در شبیه سازی تصادف خودرو از جلو، امکان افزایش دقت نواحی مهم نظیر بخش جلویی ماشین و کاهش این دقت در بخش عقب وجود دارد.
این کار باعث کاهش هزینه شبیه سازی می شود. در پیش بینی آب و هوا توسط روش های عددی نیز پیش بینی دقیق پدیده های شدید غیرخطی (مانند گردباد یا گرداب) از اهمیت بالاتری نسبت به نواحی نسبتاً آرام برخوردار است.
برای درک بهتر کاربرد روش المان محدود، به معرفی یک مثال می پردازیم. به تصویر زیر دقت کنید. این تصویر، نمونه ای از مش FEM ساخته شده برای حل یک مسئله مغناطیسی را نمایش می دهد. رنگ های مختلف در این مش بندی، بیانگر خصوصیات مادی متفاوت برای هر ناحیه هستند.
در این مثال، سیم پیچ رسانا با رنگ نارنجی، قطعه فرومغناطیس (احتمالاً آهن) با رنگ آبی روشن و هوا با رنگ خاکستری نشان داده شده است.
تفاوت اندازه المان ها در نواحی مختلف، دقت تحلیل در آن محل ها را تغییر می دهد.
معمولاً هر چه اندازه المان ها کوچک تر باشد (مش بندی ریز)، دقت نتایج و متعاقباً زمان مورد نیاز برای اجرای تحلیل افزایش می یابد. به این ترتیب، تحلیل گر برای ایجاد توازن بین زمان تحلیل و دقت بالا در نواحی مهم، مش بندی مسئله را تقریباً بهینه می کند.
با اینکه هندسه این مسئله ساده به نظر می رسد، محاسبه میدان مغناطیسی آن بدون استفاده از یک نرم افزار FEM و تنها با به کارگیری معادلات جبری کار بسیار چالش برانگیزی خواهد بود.
تصویر زیر، نتایج تحلیل مسئله بالا را به همراه یک حفاظ مغناطیسی استوانه ای شکل نمایش می دهد. اکنون به تفسیر کلی نتایج به دست آمده می پردازیم.
بخش فرومغناطیس استوانه از ناحیه داخل استوانه محافظت می کند.
این عمل از طریق انحراف میدان مغناطیسی سیم پیچ (ناحیه مستطیلی در سمت راست) صورت می گیرد. رنگ هر یک از نواحی، بیانگر چگالی شار مغناطیسی است.
با توجه به مقیاس های مشخص شده در راهنما، رنگ قرمز بیشترین دامنه مغناطیسی را نشان می دهد و ناحیه داخلی استوانه، کمترین مقدار دامنه (آبی تیره به همراه خطوط شار با فاصله زیاد) را دارد.
این مسئله، عملکرد صحیح حفاظ مغناطیسی تأیید می کند.
|
|
|
|
| نماد اعتماد الکترونیک | نشان ملی ثبت | گواهی شامد ارشاد |
© کلیه حقوق مادی و معنوی این وب سایت متعلق به داده پردازان هومان پویان می باشد.
