روابط ریاضی مکانیک شکست در ماده

محدودیت های مکانیک شکست الاستیک خطی:
یکی از مشکلاتی که محققان آزمایشگاه تحقیقاتی وابسته به نیروی دریایی ایالات متحده با آن مواجه شدند، رفتار مواد مورد استفاده در ساخت کشتی ها (نظیر ورق های فولادی بدنه کشتی) بود.

این مواد رفتار کاملاً الاستیک ندارند و نوک ترک های موجود بر روی آن ها نیز در معرض مقدار قابل توجهی از تغییر شکل های پلاستیک قرار می گیرد.

کوچک بودن مقیاس تسلیم ماده به عنوان یکی از فرضیات اساسی اروین در مکانیک شکست در نظر گرفته می شود (کوچک بودن اندازه ناحیه پلاستیک نسبت به طول ترک).

با این وجود، این فرضیه برای انواع به خصوصی از شکست در فولادهای ساختمانی دارای محدودیت است و امکان ایجاد شکست های ترد در این مواد فولادی و رخ دادن حوادث فاجعه بار وجود دارد.

در مجموع، کاربرد مکانیک شکست الاستیک خطی برای فولادهای ساختمانی محدود بوده و استفاده از آزمایش های چقرمگی شکست نیز هزینه بر است.

به همین دلیل، در این شرایط باید از رویکردهای مکانیک شکست الاستیک-پلاستیک استفاده کرد.

ملاحظات مکانیک شکست در کاربردهای مهندسی:
به منظور اجرای تحلیل و پیش بینی گسیختگی در مکانیک شکست به اطلاعات زیر نیاز است:

• بار اعمال شده.
• تنش پسماند.
• شکل و اندازه قطعه مورد آزمایش.
• شکل، اندازه، محل قرارگیری و جهت گیری ترک.

تمامی اطلاعات بالا همیشه در دسترس نخواهند بود. به همین دلیل، معمولاً از فرضیات محافظه کارانه برای انجام تحلیل ها کمک گرفته می شود. گاهی اوقات نیز تحلیل های مکانیک شکست پس از رخ دادن گسیختگی مورد استفاده قرار می گیرند.

اگر شکست در عدم حضور بارهای اضافی رخ داده باشد، وجود ترک های بسیار بزرگ شناسایی نشده در حین بررسی های معمول یا چقرمگی پایین ماده به عنوان دلایل رخ دادن شکست در نظر گرفته می شوند.

روابط ریاضی مکانیک شکست:
در بخش انتهایی، به معرفی متداول ترین روابط ریاضی موجود در مکانیک شکست می پردازیم.

معیار گریفیث:
برای مسائل ساده ای نظیر ورق های نازک مستطیلی به همراه یک ترک عمود بر راستای بارگذاری، تئوری گریفیث به فرم زیر درمی آید:

G: نرخ آزادسازی انرژی کرنشی؛ σ: تنش اعمال شده؛ a: نصف طول ترک؛ E: مدول یانگ که در شرایط کرنش صفحه ای باید بر ضریب سختی ورق (1-v2) تقسیم شود.

در یک تعریف دیگر، نرخ آزادسازی انرژی کرنشی به صورت نرخ جذب انرژی توسط رشد ترک در نظر گرفته می شود. با جایگذاری تنش در لحظه شکست (σf) به جای تنش اعمال شده خواهیم داشت:

شرط G≥Gc به عنوان معیاری برای شروع رشد ترک در نظر گرفته می شود.

اصلاحات اروین:
سرانجام با ارائه یک فرم اصلاح شده برای معیار گریفیث، شدت تنش جایگزین نرخ آزادسازی انرژی کرنشی و چقرمگی شکست جایگزین انرژی نقطه ضعف سطحی شد. رابطه بین این پارامترهای جدید و پارامترهای معرفی شده توسط گریفیث به صورت زیر نوشته می شود:

برای تنش صفحه ای داریم:

و برای کرنش صفحه ای داریم:

KI: شدت تنش؛ Kc: چقرمگی شکست؛ v: نسبت پواسون

توجه به این ضروری است که مقادیر اندازه گیری پارامتر شکست (Kc) در شرایط کرنش صفحه ای و تنش صفحه ای با هم متفاوت هستند.

شکست زمانی رخ می دهد که شرط KI≥Kc برقرار باشد. برای موارد خاص تغییر شکل در شرایط کرنش صفحه ای، Kc به KIc تبدیل شده و به عنوان یکی از خواص ماده در نظر گرفته می شود.

اضافه شدن اندیس I در این پارامتر، به دلیل روش های مختلف بارگذاری برای ایجاد رشد ترک در ماده است. در واقع این اندیس، حالت اول (Mode I) بارگذاری را نمایش می دهد.

رابطه ای که در بالا برای KI ارائه شد، تنها در ورق بی نهایت به همراه ترک مرکزی قابل استفاده است. این رابطه برای هندسه های دیگر تغییر می کند. به همین دلیل، به منظور تعیین هندسه باید از یک ضریب تصحیح بی بعد (Y) استفاده کرد. به این ترتیب داریم:

Y، تابعی از طول ترک و عرض ورق است که برای ورقی با عرض محدود W که ترکی با طول 2a در راستای ضخامت آن قرار گرفته، داریم:

و ورقی با عرض محدود W که یک ترک لبه ای با طول a در راستای ضخامت آن قرار گرفته، داریم:

الاستیسیته و پلاستیسیته:
از آنجایی که مهندسان به استفاده از پارامتر KIc برای تعیین چقرمگی شکست عادت کرده اند، رابطه زیر برای تبدیل JIc به این پارامتر ارائه شده است:

برای تنش صفحه ای داریم:

و برای کرنش صفحه ای داریم: