تعریف چگالی انرژی کرنشی در سازه

جابه جایی های ناشی از اعمال یک بار منفرد:
یکی از کاربردهای انرژی کرنشی در مسائل کاربردی، تعیین مقدار جابه جایی سازه های الاستیک خطی در هنگام اعمال بار منفرد است.

برای آشنایی با این روش، یک خرپای دو میله ای مطابق شکل زیر را در نظر بگیرید که در آن نیروی عمودی P به مفصل B وارد می شود. هدف ما در این مثال، تعیین میزان جابه جایی عمودی δ در مفصل B است.

هنگام بارگذاری آرام بر روی خرپا و حرکت بار P در مسیر جابه جایی عمودی δ، کار W به وجود می آید. توجه داشته باشید که در حرکت های افقی هیچ کاری انجام نمی شود. بنابراین، به دلیل خطی بودن منحنی بار-جابه جایی، انرژی کرنشی U درون سازه ذخیره می شود.

این انرژی با کار انجام شده در اثر اعمال بار برابر است:

با بازنویسی رابطه بالا نسبت به پارامتر جابه جایی، به رابطه زیر می رسیم:

بر اساس این رابطه، در شرایط خاص امکان محاسبه جابه جایی یک سازه به طور مستقیم و با استفاده از انرژی کرنشی آن وجود دارد. این شرایط عبارت اند از:

• رفتار سازه باید به صورت الاستیک خطی باشد.
• سازه باید فقط تحت بار منفرد قرار داشته باشد.
• تنها جابه جایی قابل اندازه گیری در این شرایط، جابه جایی ناشی از اعمال بار است. این جابه جایی باید با بار اعمال شده هم راستا بوده و در نقطه اعمال بار قرار گرفته باشد.

با توجه به موارد فوق، کاربرد این روش برای تعیین جابه جایی های یک سازه بسیار محدود می شود.

علاوه بر این، این روش شاخص خوبی برای نمایش اهمیت بالای مبحث انرژی کرنشی در مکانیک سازها نیست اما می توان آن را به عنوان یکی از کاربردهای انرژی کرنشی در نظر گرفت.

چگالی انرژی کرنشی:
برای راحتی کار در بسیاری از مسائل، به جای انرژی کرنشی از کمیت دیگری به نام «چگالی انرژی کرنشی» (Strain Energy Density) استفاده می شود. این کمیت معادل انرژی کرنشی بر واحد حجم است.

برای تعیین چگالی انرژی کرنشی می توان از روابط انرژی کرنشی یک میله منشوری استفاده کرد. به دلیل یکنواخت بودن توزیع انرژی کرنشی درون یک میله منشوری، چگالی آن از تقسیم انرژی کرنشی (U) بر حجم میله (A*L) به دست می آید.

چگالی انرژی کرنشی با حرف u نمایش داده می شود. رابطه ریاضی این کمیت به صورت زیر است:

یا

با جایگذاری تنش σ به جای P/A و کرنش ε به جای δ/L در رابطه بالا، خواهیم داشت:

یا

روابط بالا برای محاسبه چگالی انرژی کرنشی مواد الاستیک خطی بر اساس مقادیر تنش σ یا کرنش ε مناسب هستند.

در واقع، این روابط مساحت مثلث تشکیل شده در ناحیه زیر منحنی تنش-کرنش برای یک ماده الاستیک خطی را نمایش می دهند.

در نظر داشته باشید که چگالی انرژی کرنشی در شرایطی که مواد از قانون هوک پیروی نمی کنند نیز با مساحت سطح زیر منحنی تنش-کرنش برابر است.

در این مواد، مساحت سطح زیر منحنی برای هر ماده به خصوص به صورت جداگانه محاسبه می شود.

چگالی انرژی کرنشی در سیستم SI با واحد ژول بر متر مکعب (J/m3) و در سیستم آمریکایی با واحد فوت-پوند بر فوت مکعب، اینچ-پوند بر اینچ مکعب و واحدهای مشابه دیگر بیان می شود.

از آنجایی که 1J=1N.m، با جایگذاری N.m در J/m3 به N/m2 می رسیم. N/m2 یا همان Pa، واحد تنش در سیستم SI است.

به این ترتیب، چگالی انرژی کرنشی را می توان بر حسب واحدهای تنش نظیر پاسکال یا پوند بر اینچ مربع نیز بیان کرد.

میزان چگالی انرژی کرنشی یک ماده در حد تناسب، «ضریب فنریت» (Modulus of Resilience) نام دارد. ضریب فنریت با مساحت سطح زیر منحنی تا حد الاستیک برابر است.

این ضریب، قابلیت جذب و آزادسازی انرژی کرنشی در محدوده الاستیک را نمایش می دهد. ضریب فنریت از طریق رابطه زیر محاسبه می شود:

ur: ضریب فنریت؛ σpl: مقدار تنش در حد تناسب

در ادامه به معرفی کمیت دیگری به نام «چقرمگی» (Toughness) می پردازیم. این کمیت قابلیت مواد در جذب انرژی کرنشی بدون رخ دادن شکست را نمایش می دهد.

به مقدار چگالی انرژی کرنشی در نقطه شکست، «ضریب چقرمگی» (Modulus of Toughness) گفته می شود. این ضریب با مساحت کل سطح زیر منحنی تنش-کرنش برابر است.

هر چه مقدار ضریب چقرمگی (ut) بیشتر باشد، توانایی ماده در جذب انرژی کرنشی پیش از رخ دادن شکست بیشتر خواهد بود. از این رو، توجه به ضریب چقرمگی ماده در هنگام اعمال بارهای ضربه ای بسیار مهم است.

توجه: روابطی که در این مقاله به منظور محاسبه چگالی انرژی کرنشی معرفی شدند، تنها برای مواد تحت فشار یا کشش (تنش تک محوری) مناسب هستند.