تنش بر روی مقاطع دوران یافته

تنش بر روی مقاطع دوران یافته:

اکنون می توانیم با فرض مشخص بودن تنش های σy، σx و ?xy، تنش های اعمال شده بر روی مقاطع دوران یافته را تعیین کنیم (شکل زیر).

برای به نمایش درآوردن تنش های اعمال شده بر روی مقاطع دوران یافته، یک المان تنش جدید را بر روی محل قرارگیری المان اصلی در نظر گرفته می شود. اگرچه، المان جدید دارای سطوح موازی و عمود بر راستای دوران است.

y1، x1 و z1 محورهای مختصات مربوط به المان جدید هستند. در این سیستم جدید، محور z1 بر روی محور z قرار دارد و x1y1 تحت زاویه θ نسبت به xy به صورت پادساعت گرد دوران یافته است.

تنش های نرمال و برشی اعمال شده بر روی المان جدید با حروف σy1، σx1 و ?x1y1 نمایش داده می شوند.

قواعد علامت گذاری و نام گذاری این تنش ها مشابه قواعد اشاره شده در بخش قبلی است. رابطه به دست آمده برای تنش های برشی، در مورد المان دوران یافته نیز صدق می کند:

با در نظر گرفتن معادله بالا و معادلات تعادل المان می توان مشاهده کرد که با تعیین تنش برشی اعمال شده بر روی یکی از صفحات المان در حالت تنش صفحه ای، تنش های برشی اعمال شده بر روی تمامی صفحات مشخص می شوند.

با استفاده از معادلات تعادل می توان تنش های اعمال شده بر روی المان دوران یافته x1y1 را با توجه به تنش های اعمال شده بر روی المان xy بیان کرد.

به این منظور، یک المان گوه ای شکل با صفحه ای به موازات محور x1 در نظر گرفته می شود (شکل زیر). دو صفحه دیگر این المان با محوری x و y موازی هستند.

به منظور نوشتن معادلات تعادل برای این گوه، ابتدا نمودار جسم آزاد آن را مطابق شکل بالا رسم می کنیم. مساحت صفحه سمت چپ گوه (جهت منفی x) را به عنوان A0 در نظر می گیریم. با توجه به نمودار جسم آزاد، نیروهای نرمال و برشی اعمال شده بر روی آن سطح با σxA0 و ?xyA0 برابر هستند.

مساحت صفحه پایینی (جهت منفی y) با A0tanθ و مساحت صفحه زاویه دار با A0secθ برابر است. بنابراین، نیروهای نرمال و برشی اعمال شده بر روی این صفحات دارای مقادیر و جهت های نشان داده شده در شکل زیر هستند.

نیروی اعمال شده بر روی صفحات سمت چپ و پایینی گوه را می توان به مؤلفه های عمود بر هم در راستای x1 و y1 تجزیه کرد. با جمع نیروهای موجود در این دو راستا، دو معادله تعادل به دست می آید. جمع نیروهای هم راستا با x1 خواهیم داشت:

به همین ترتیب، با جمع نیروهای هم راستا با y1 خواهیم داشت:

با استفاده از معادله ?xy=?xy و ساده سازی روابط بالا، دو رابطه زیر به دست می آید:

روابط بالا، با استفاده از زاویه θ و تنش های σy، σx و ?xy بر روی صفحات x و y، تنش های نرمال و برشی اعمال شده بر صفحه x1 را نمایش می دهند.

اگر θ=0 باشد، σx1=σx و ?x1y1=?xy خواهد بود. به علاوه، در صورتی که θ=90 باشد، σx1=σy و ?x1y1=-?xy=-?yx خواهد بود. در حالت دوم، از آنجایی که در هنگام θ=90 محور x1 به صورت عمود درمی آید، تنش ?x1y1 در هنگام اعمال بر روی صفحه سمت چپ مثبت می شود.

در عین حال، تنش ?xy به سمت راست اعمال خواهد شد.در نتیجه، رابطه ?x1y1=-?yx برقرار خواهد بود.