رفتار غیر خطی مواد (منحنی تنش-کرنش غیرخطی)

رفتار غیر خطی مواد (منحنی تنش-کرنش غیرخطی):
به منظور طراحی و تحلیل رفتار مواد، معمولاً منحنی تنش-کرنش واقعی ماده با استفاده از توابع ریاضی به صورت یک منحنی ایده آل درمی آید.

به عنوان مثال، برای شروع منحنی زیر را در نظر بگیرید. بخش ابتدایی این منحنی به صورت الاستیک خطی و بخش دوم آن غیر خطی است. هر دو ناحیه مشخص شده در این منحنی توسط روابط ریاضی تعریف شده اند.

در برخی از موارد می توان رفتار دقیق آلیاژهای آلومینیوم تا پیش از رخ دادن کرنش های بسیار بزرگ را به وسیله یک منحنی مشابه با مثال بالا نمایش داد.

در شکل زیر، رفتار کلی ماده و تغییرات منحنی تنش-کرنش توسط یک تابع ریاضی نمایش داده شده است. «معادله رامبرگ-ازگود» (Ramberg-Osgood Equation)، یکی از روابط ریاضی شناخته شده برای نمایش این نوع رفتار به شمار می رود. در بخش های بعدی به معرفی کاربردهای این معادله خواهیم پرداخت.

شکل زیر، منحنی تنش-کرنش معمول برای فولاد سازه ای را نمایش می دهد. منحنی تنش-کرنش فولاد دارای یک ناحیه الاستیک خطی و ناحیه ای با سطح تسلیم بسیار بالا است.

به همین دلیل، رفتار این ماده را می توان توسط دو خط مستقیم نمایش داد. در این مثال فرض می شود که تا قبل از رسیدن به تنش تسلیم (σy)، ماده از قانون هوک پیروی می کند.

پس از تنش تسلیم، رفتار ماده با عنوان «پلاستیسیته کامل» (Perfectly Plastic) شناخته می شود. ناحیه پلاستیک کامل تا رسیدن میزان کرنش ها به 10 یا 20 برابر کرنش تسلیم ادامه می یابد.

ماده ای که رفتار آن مطابق این نوع منحنی باشد، «الاستو پلاستیک» (Elastoplastic) یا «الاستیک-پلاستیک» (Elastic-Plastic) نام دارد.

با ایجاد کرنش های بسیار بزرگ، شیب منحنی تنش-کرنش فولاد بر اثر سخت شوندگی کرنش (Strain Hardening) افزایش می یابد (شکل بالا).

در لحظه شروع سخت شوندگی کرنش، جابه جایی ها به قدری بزرگ می شوند که عملکرد صحیح سازه را با مشکل مواجه می کنند.

به همین دلیل، رفتار سازه های فولادی در هر دو حالت بارگذاری کششی و فشاری معمولاً بر اساس منحنی تنش-کرنش الاستو پلاستیک مورد تحلیل قرار می گیرد. به تحلیل هایی که بر مبنای این فرضیات انجام می شوند، تحلیل الاستو پلاستیک یا تحلیل پلاستیک می گویند.

منحنی تنش-کرنش نمایش داده شده در شکل زیر دارای دو خط مستقیم با شیب های متفاوت است. به این نوع منحنی، «منحنی تنش-کرنش دوخطی» (Bilinear Stress-Strain Curve) گفته می شود.

توجه داشته باشید که رابطه بین تنش و کرنش در هر دو بخش به صورت خطی است. با این وجود، میزان تنش فقط در بخش اول با میزان کرنش متناسب است (قانون هوک).

این منحنی ایده آل را می توان برای بیان رفتار موادی با سخت شوندگی کرنش یا تخمین منحنی های غیر خطی مورد استفاده قرار داد.

تغییر طول میله:
در صورتی که منحنی تنش-کرنش یک ماده مشخص باشد، میزان افزایش یا کاهش طول میله ای از جنس آن ماده قابل تعیین خواهد بود.

به منظور نمایش فرآیند کلی تعیین تغییر طول یک میله با استفاده از منحنی تنش-کرنش ماده تشکیل دهنده آن، شکل زیر را در نظر می گیریم. در این شکل، میله مخروطی AB با طول اولیه L نمایش داده شده است.

مساحت سطح مقطع این میله و همچنین نیروی محوری اعمال شده، در راستای طول تغییر می کنند. علاوه بر این، منحنی تنش-کرنش ماده تشکیل دهنده میله به صورت غیر خطی است.

از آنجایی که میله از نظر استاتیکی معین است، نیروهای محوری داخلی در تمام سطح مقطع ها را می توان با کمک معادلات تعادل استاتیکی تعیین کرد. میزان تنش های موجود نیز از تقسیم این نیروها بر مساحت سطح مقطع ها به دست می آید.

در مرحله بعد، میزان کرنش های ایجاد شده با استفاده از منحنی تنش-کرنش تعیین می شود. در انتها نیز تغییر طول میله مورد محاسبه قرار می گیرد.

تغییر طول المان dx با کرنش (ε) در فاصله x از انتهای میله برابر است. با انتگرال گیری در بازه 0 تا L، میزان تغییر طول کلی میله تعیین می شود:

در صورتی که کرنش به صورت تحلیلی و با استفاده از روابط جبری بیان شده باشد، با انتگرال گیری از رابطه بالا می توان به یک عبارت ریاضی برای محاسبه تغییر طول دست یافت.

اگر تنش و کرنش به صورت عددی بیان شده باشند، می توان مراحل زیر را به منظور تعیین میزان تغییر طول دنبال کرد:

• تقسیم میله به بخش های کوچکی با طول Δx.
• تعیین میانگین تنش و کرنش در هر یک از بخش ها.
• محاسبه تغییر طول در کل میله.

این فرآیند معادلِ انتگرال گیری از رابطه بالا به وسیله روش های عددی است. در صورتی که کرنش درون میله یکنواخت باشد، جواب انتگرال بالا بدیهی خواهد بود. به این ترتیب، تغییر طول میله از رابطه زیر به دست می آید:

معادله تنش-کرنش رامبرگ-ازگود:
در برخی از فلزات نظیر آلومینیوم و منیزیم، منحنی تنش-کرنش ماده با استفاده از معادله رامبرگ-ازگود قابل ترسیم است:

در این معادله، σ و ε به ترتیب تنش و کرنش را نمایش می دهد. ε0، σ0، α و m نیز ثابت های ماده هستند که از آزمایش های کششی به دست می آیند. فرم دیگری از این معادله به صورت زیر نوشته می شود:

E: مدول الاستیسیته در بخش اولیه منحنی تنش-کرنش است که مقدار آن از رابطه σ0/ε0 محاسبه می شود.

شکل زیر، منحنی تنش-کرنش برای یک نوع آلیاژ آلومینیوم را نمایش می دهد. مقادیر مدول الاستیسیته و دیگر ثابت های این آلیاژ برابر است با:

E=10*106 psi, σ0=38000 psi, α=3/7, m=10

معادله رامبرگ-ازگود برای این منحنی به خصوص به صورت زیر نوشته می شود:

واحد تنش در رابطه بالا، پوند بر اینچ مربع (psi) است.

یک آلیاژ آلومینیوم با مشخصات زیر را در نظر بگیرید:

E=70 GPa, σ0=260 MPa, α=3/7, m=10

معادله رامبرگ-ازگود برای این ماده در سیستم SI به صورت زیر نوشته می شود:

واحد تنش در رابطه بالا، مگا پاسکال (MPa) است.