تعریف تنش های برشی ماکسیمم

تعریف تنش های برشی ماکسیمم:
پس از تعیین مقدار و جهت گیری تنش های اصلی، به محاسبه تنش های برشی ماکسیمم و صفحات دربرگیرنده آن ها می پردازیم.

تنش های برشی اعمال شده بر روی صفحات دوران یافته (τx1y1) با استفاده از معادلات تبدیل محاسبه می شوند.

با مشتق گیری از رابطه τx1y1 نسبت به پارامتر θ و برابر قرار دادن عبارت به دست آمده با صفر، به معادله زیر می رسیم:

با اعمال تغییرات جزئی در رابطه بالا، خواهیم داشت:

اندیس s در این رابطه نشان می دهد که زاویه θs، معرف جهت گیری تنش های برشی ماکسیمم مثبت و منفی است.

با حل رابطه بالا، یک زاویه بین 0 تا 90 درجه و زاویه ای دیگر بین 90 تا 180 درجه به دست می آید. در تنش های برشی ماکسیمم نیز مانند تنش های اصلی، مقادیر به دست آمده برای جهت گیری صفحات دربرگیرنده تنش (در اینجا θs) به اندازه 90 درجه با یکدیگر اختلاف دارند.

بنابراین، تنش های برشی ماکسیمم نیز بر روی صفحات عمود بر هم رخ می دهند. با توجه به مطالب ارائه شده در مبحث «تنش و کرنش برشی»، می دانیم که مقادیر قدر مطلق تنش های برشی موجود بر روی صفحات عمود، با هم برابر هستند.

به همین دلیل، تنش های برشی ماکسیمم منفی و مثبت تنها در علامت با یکدیگر اختلاف دارند. با مقایسه روابط θs و θp داریم:

بنابراین می توان رابطه ای را بین θs و θp ایجاد کرد. به این منظور، ابتدا رابطه بالا را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

با ضرب جداگانه هر یک از مخرج ها در عبارت بالا، به رابطه زیر می رسیم:

با توجه به روابط مثلثاتی، معادله بالا به عبارت زیر تبدیل می شود:

بنابراین:

و

معادله بالا نشان می دهد که صفحات تنش برشی ماکسیمم نسبت به صفحات اصلی، به اندازه 45 درجه اختلاف زاویه قرار دارند. صفحه تنش برشی ماکسیمم مثبت (τmax) با زاویه θs1 مشخص می شود. برای تعیین زاویه θs1 می توان از روابط زیر استفاده کرد:

پارامتر R در رابطه بالا به صورت زیر محاسبه می شود:

رابطه بین زاویه θs1 و زاویه θp1 نیز به صورت زیر خواهد بود:

با جایگذاری روابط cosθs1 و sinθs1 در معادلات تبدیل، به رابطه زیر دست می یابیم:

تنش برشی ماکسیمم منفی (τmin) دارای مقدار برابر با τmax و علامت مخالف آن است.

رابطه تنش برشی ماکسیمم را می توان بر حسب پارامترهای σ1 و σ2 نیز بیان کرد. این رابطه به صورت زیر نوشته می شود:

بنابراین، تنش برشی ماکسیمم با نصف اختلاف بین تنش های اصلی برابر است. توجه داشته باشید که تنش های نرمال بر روی صفحات تنش های برشی ماکسیمم وجود دارند. با جایگذاری رابطه زاویه θs1 در رابطه تنش σx1، مقدار تنش نرمال اعمال شده بر روی صفحات تنش برشی ماکسیمم مثبت به دست می آید. تنش به دست آمده با میانگین تنش های نرمال بر روی صفحات x و y برابر خواهد بود:

این تنش نرمال بر روی صفحات تنش برشی ماکسیمم منفی نیز اعمال می شود. در حالت های خاص نظیر تنش تک محوری و دومحوری، صفحات تنش برشی ماکسیمم در موقعیت 45 درجه نسبت به محورهای x و y قرار دارند. در حالت برش خالص، تنش های برشی ماکسیمم بر روی صفحات x و y رخ می دهند.

تنش های برشی درون صفحه ای و خارج صفحه ای:
در بخش قبلی به تحلیل تنش های برشی درون صفحه ای پرداختیم. این تنش ها تنها بر روی صفحه xy اعمال می شوند.

به منظور تعیین تنش های برشی ماکسیمم درون صفحه ای، المان های حاصل از دوران دستگاه مختصات xyz تحت محور z را در نظر گرفتیم.

به علاوه، مشاهده کردیم که تنش های برشی ماکسیمم بر روی صفحاتی با اختلاف 45 درجه نسبت به صفحات اصلی قرار دارند. در صفحات اصلی المان زیر، تنش های اصلی با σ1 و σ2 نمایش داده شده اند.

بنابراین، تنش های برشی ماکسیممِ درون صفحه ای، از دوران 45 درجه ای دستگاه مختصات x1y1z1 نسبت محور z1 به دست می آیند. روابط مورد نیاز برای محاسبه این تنش ها در بخش قبلی ارائه شدند.

با دوران 45 درجه ایِ دستگاه مختصات نسبت به محورهای x1 و y1 نیز می توان تنش های برشی ماکسیمم را تعیین کرد. به این ترتیب، سه دسته تنش برشی ماکسیمم مثبت و منفی به دست می آید:

اندیس های تنش های برشی (y1، x1 یا z1)، محوری را نمایش می دهند که دستگاه مختصات نسبت به آن دوران یافته است.

به تنش های حاصل از دوران حول محورهای x1 و y1، «تنش های برشی خارج صفحه ای» (Out-of-Plane Shear Stresses) گفته می شود. با توجه به مقادیر جبری σ1 و σ2 می توان بزرگی تنش های برشی ماکسیمم را نسبت به یکدیگر مشخص کرد.

در صورت هم علامت σ1 و σ2، مقدار عددی τmax)x1) یا τmax)y1) بزرگ تر از دیگر موارد خواهد بود. در صورت مختلف العلامت بودن σ1 و σ2، مقدار عددی τmax)z1) بزرگ تر از دیگر موارد خواهد بود.