تنش سه محوری و مفاهیم مرتبط با آن

تنش سه محوری و مفاهیم مرتبط با آن:

مولفه های تنش سه محوری:
المان زیر در سه راستای عمود بر هم تحت تنش های نرمال σy، σx و σz قرار دارد. به این حالت، تنش سه محوری گفته می شود.

به دلیل عدم وجود تنش های برشی در صفحات y، x و z، مولفه های σy، σx و σz به عنوان تنش های اصلی در نظر گرفته می شوند.

یک صفحه مورب و موازی با محور z را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید. تنش های اعمال شده بر روی این صفحه مورب، تنش نرمال σ و تنش برشی τ هستند که جهت گیری آن ها به موازات صفحه xy است.

این تنش ها را می توان معادل تنش های موجود بر روی صفحات دوران یافته در نظر گرفت. مقادیر تنش های σ و τ از روی معادلات تعادل در صفحه xy به دست می آیند.

به همین دلیل، این تنش ها مستقل از تنش نرمال σz هستند. در نتیجه می توان از معادلات تعادل تنش صفحه ای و دایره مور تنش صفحه ای به منظور تعیین مقادیر σ و τ در حالت تنش سه محوری نیز استفاده کرد.

این موضوع برای محاسبه تنش های نرمال و برشی اعمال شده بر روی صفحات مورب و موازی با محورهای x و y نیز صادق است.

تنش های برشی ماکسیمم:
در مبحث «تنش های اصلی و تنش های برشی ماکسیمم» دیدیم که اختلاف زاویه بین تنش های اصلی و تنش های برشی ماکسیمم 45 درجه است.

به این ترتیب، برای ماده ای که تحت تنش سه محوری قرار دارد نیز تنش های برشی ماکسیمم در زاویه 45 درجه نسبت به محورهای y، x و z رخ می دهند.

اگر المانی به اندازه 45 درجه نسبت به محور z دَوران یابد، تنش های برشی ماکسیمم مثبت و منفی اعمال شده بر روی آن از طریق رابطه زیر محاسبه می شوند:

به همین ترتیب، در صورت دوران المان حول محورهای x و y تحت زاویه 45 درجه، تنش های برشی ماکسیمم به کمک روابط زیر به دست می آیند:

بزرگ ترین مقدار به دست آمده از روابط بالا، تنش برشی ماکسیمم مطلق گفته می شود. مقدار این تنش با نصفِ اختلافِ بین بزرگ ترین و کوچک ترین تنش اصلی برابری می کند.

با استفاده از دایره مور می توان رابطه بین تنش های اعمال شده بر روی المان های دوران یافته تحت زوایای مختلف نسبت به محورهای y، x و z را به صورت گرافیکی نمایش داد.

شکل زیر، دایره های مربوط به المان های دوران یافته حول محورهای y، x و z به ترتیب با حروف C، B و A نشان داده شده اند.

توجه داشته باشید که رسم دایره A با در نظر گرفتن شرط σx>σy و همچنین کششی بودن تنش های σx و σy صورت گرفته است.

شعاع هر یک از این دایره ها با تنش های برشی ماکسیمم و شعاع بزرگ ترین دایره با تنش برشی ماکسیمم مطلق برابر است.

مقادیر تنش های نرمال اعمال شده بر روی صفحات دربرگیرنده تنش های برشی ماکسیمم نیز با طول مرکز هر دایره بر روی محور افقی دستگاه مختصات برابری می کنند.

در این مقاله، وضعیت تنش تنها بر روی صفحات دوران یافته حول محورهای y، x و z مورد تحلیل قرار گرفت. در این حالت، تمام صفحات مورد بررسی با یکی از محورهای مختصات موازی هستند.

به عنوان مثال، صفحه مورب نمایش داده شده در شکل زیر با محور z و بردار نرمال آن با صفحه xy موازی است.

امکان در نظر گرفتن صفحاتی که با هیچ یک از محورهای مختصات موازی نباشند نیز وجود دارد. در این حالت، مقادیر تنش های نرمال و برشی اعمال شده بر روی صفحات مورد بررسی از طریق تحلیل های سه بعدی پیچیده تر به دست می آیند.

اگرچه، مقادیر تنش های نرمال اعمال شده بر روی این صفحات در محدوده ای بین تنش های اصلی ماکسیمم و مینیمم قرار خواهند گرفت. به علاوه، مقادیر تنش های برشی نیز کوچک تر از تنش برشی ماکسیمم مطلق خواهند بود.

قانون هوک برای تنش سه محوری:
اگر ماده تشکیل دهنده المان مورد بررسی از قانون هوک پیروی کند، امکان به دست آوردن رابطه بین تنش های نرمال و کرنش های نرمال فراهم می شود.

با جمع کردن مقادیر کرنش های حاصل از تنش های σy، σx و σz می توان کرنش کل را تعیین کرد.

به این ترتیب، روابط زیر برای محاسبه کرنش های حاصل از تنش های سه محوری مورد استفاده قرار می گیرند:

در روابط بالا از قواعد علامت گذاری استاندارد استفاده شده است (علامت مثبت برای تنش کششی σ و کرنش کششی ε). به منظور محاسبه تنش ها با توجه به مؤلفه های کرنش نیز می توان از روابط زیر استفاده کرد:

روابط ارائه شده در این بخش با عنوان قانون هوک برای حالت تنش سه محوری شناخته می شوند. با جایگذاری مقدار σz=0 در روابط بالا، معادلات قانون هوک برای حالت تنش دومحوری به دست می آیند.

تغییرات حجم واحد:
در حالت تنش سه محوری، تغییرات حجم واحد یا «اتساع» (Dilatation) برای المانی که تحت کرنش های نرمال εy، εx و εz قرار دارد، به صورت زیر تعیین می شود:

در هنگام رخ دادن کرنش های کوچک می توان این رابطه را برای تمام مواد مورد استفاده قرار داد. اگر ماده از قانون هوک پیروی کند، با جایگذاری کمیت های تنش به جای کرنش به رابطه زیر می رسیم:

دو رابطه ارائه شده در این بخش، برای محاسبه اتساع در حالت تنش سه محوری با توجه به کمیت های کرنش و تنش مورد استفاده قرار می گیرد.

چگالی انرژی کرنشی:
در صورتی که تنها تنش های σx و σy بر روی یک المان اعمال شوند (حالت تنش دومحوری)، چگالی انرژی کرنشی از رابطه زیر به دست می آید:

در صورت سه محوری بودن حالت تنش، رابطه چگالی انرژی کرنشی به صورت زیر نوشته می شود:

با جایگزین کردن مؤلفه های کرنش با تنش (با استفاده از قانون هوک)، رابطه ای برای محاسبه چگالی انرژی کرنشی بر حسب مؤلفه های تنش به دست می آید:

به طور مشابه، با جایگزین کردن مؤلفه های تنش با کرنش (با استفاده از قانون هوک)، رابطه ای برای محاسبه چگالی انرژی کرنشی بر حسب مؤلفه های کرنش به دست می آید:

توجه داشته باشید که باید در هنگام جایگزین کردن مؤلفه های تنش و کرنش، از علامت مناسب آن ها استفاده کرد.

تنش کروی:
اگر تمامی تنش های نرمال اعمال شده بر روی یک المان با هم برابر باشند، یک حالت خاص از تنش سه محوری به نام «تنش کروی» (Spherical Stress) رخ می دهد:

در این حالت، تمامی مقاطع المان در معرض تنش نرمال σ0 قرار خواهند گرفت. به علاوه، هیچ کرنش برشی بر روی المان اعمال نخواهد شد. با وجود تنش های نرمال برابر در تمام جهات و صفر بودن تنش های برشی در تمام نقاط، هر صفحه مورد نظر به عنوان یک صفحه اصلی در نظر گرفته می شود.

به علاوه، دوایر مور نیز به یک نقطه منفرد تبدیل می شوند. در حالت تنش کروی، مقادیر کرنش های نرمال نیز در تمام جهات یکسان خواهند بود. این موضوع باعث یکنواخت و همسانگرد بودن ماده می شود. اگر قانون هوک در این شرایط حکم فرما باشد، کرنش های نرمال از رابطه به دست می آیند:

این رابطه مشابه رابطه تعیین کرنش های نرمال در حالت کلی تنش سه محوری است. از آنجایی که در حالت تنش کروی هیچ تنش برشی وجود ندارد، اندازه المان تحت تنش تغییر می کند اما شکل آن ثابت باقی می ماند.

به طور کلی، در صورت اعمال تنش کروی به یک جسم، نسبت بین ابعاد آن تغییری نخواهد کرد اما با توجه به کششی یا فشاری بودن تنش، حجم جسم با انبساط یا انقباض مواجه می شود.

به منظور محاسبه اتساع المان در این حالت می توانیم از رابطه زیر استفاده کنیم:

رابطه بالا معمولاً با استفاده از کمیت «مدول حجمی الاستیسیته» (Volume Modulus of Elasticity) یا «مدول بالک» (Bulk Modulus) به صورت جمع و جورتر بیان می شود. رابطه زیر، تعریف ریاضی مدول حجمی را نمایش می دهد:

با در نظر داشتن رابطه مدول حجمی (K)، رابطه اتساع یا کرنش حجمی به فرم زیر درمی آید:

به این ترتیب، داریم:

با توجه به رابطه بالا می توانیم مدول حجمی را به صورت نسبت تنش کروی به کرنش حجمی تعریف کنیم. این تعریف، معادل تعریف مدول الاستیسیته در حالت تنش تک محوری است.

توجه داشته باشید که روابط ارائه شده برای تعیین e و K بر اساس فرض کوچک بودن کرنش ها و پیروی ماده از قانون هوک به دست آمده اند.

با توجه به رابطه K بر حسب E و ν، در صورتی که نسبت پواسون برابر با 1/3 باشد، مدول های الاستیسیته و حجمی با هم برابر خواهند بود.

اگر ν=0 باشد، K برابر با E/3 و اگر ν=0.5 باشد، K برابر با بی نهایت خواهد بود. بی نهایت بودن مدول حجمی بیانگر صلب بودن ماده و عدم تغییر حجم (غیر قابل تراکم بودن) آن در اثر اعمال تنش است.

روابط ارائه شده برای حالت تنش کروی با در نظر گرفتن شرایط کشش یکنواخت در تمام جهات به دست آمدند. این روابط برای شرایط تراکم یکنواخت نیز قابل استفاده هستند.

توجه داشته باشید که در این حالت، علامت تنش ها و کرنش ها منفی خواهد بود. تراکم یکنواخت زمانی رخ می دهد که ماده در تمام جهات تحت فشار یکنواخت قرار گرفته باشد.

اجسام زیر آب یا سنگ های درون اعماق زمین را می توان به عنوان مصادیق مواد تحت فشار یکنواخت در نظر گرفت.

این حالت تنش اغلب با عنوان «تنش هیدرواستاتیک» (Hydrostatic Stress) شناخته می شود.

فشار یکنواخت به عنوان یک حالت رایج در مسائل مختلف محسوب می شود اما دستیابی به حالت کشش یکنواخت یک امر دشوار به شمار می رود.

با افزایش ناگهانی و یکنواخت دمای سطح خارجی یک گوی فلزی می توان حالت کشش یکنواخت را به وجود آورد. در این فرآیند، دمای لایه های خارجی بیشتر از لایه های داخلی خواهد بود.

به این ترتیب، تمایل لایه های خارجی به انبساط، باعث به وجود آمدن کشش یکنواخت نقطه مرکز گوی در راستای تمام جهات خواهد شد.