رابطه کلی قانون هوک برای تنش صفحه ای

رابطه کلی قانون هوک برای تنش صفحه ای:
شکل زیر، تنش های اعمال شده بر روی صفحات دوران یافته یک المان در حالت تنش صفحه ای را نمایش می دهد.

به منظور دستیابی به معادلات تبدیل ارائه شده برای این حالت نیازی به استفاده از خواص ماده نیست؛ چراکه این معادلات تنها بر اساس تعادل المان به دست می آیند.

در این مقاله، به منظور بررسی تأثیر کرنش های به وجود آمده درون یک ماده، دو شرط بسیار مهم زیر را در نظر می گیریم:

• همگن و همسانگرد بودن: ماده تشکیل دهنده جسم، یکنواخت و خواص آن در همه جهات، یکسان است.
• رفتار الاستیک خطی: ماده از قانون هوک پیروی می کند.

در صورت برقرار بودن شرایط بالا می توان رابطه بین تنش ها و کرنش های درون یک جسم را به راحتی تعیین کرد.

مطابق شکل زیر، کرنش های نرمال εy، εx و εz را برای حالت تنش صفحه ای در نظر بگیرید.

این شکل، تأثیر کرنش های مذکور بر روی تغییر شکل المانی با ابعاد b، a و c را نمایش می دهد. تمام کرنش های نمایش داده شده در این شکل مثبت هستند.

با جایگذاری تأثیر هر یک از تنش های نمایش داده شده در شکل بالا می توان مقادیر کرنش را بر حسب مؤلفه های تنش بیان کرد.

به عنوان مثال، کرنش نرمال εx در راستای محور x را در نظر بگیرید. میزان کرنش ایجاد شده بر اثر اعمال تنش نرمال σx، از رابطه σx/E به دست می آید. پارامتر E، مقدار مدول الاستیسیته ماده را نمایش می دهد.

میزان کرنش ایجاد شده بر اثر اعمال تنش نرمال σy نیز از طریق رابطه νσy/E- قابل محاسبه است.

پارامتر ν، نسب پواسون ماده را نمایش می دهد. اعمال تنش برشی τxy باعث ایجاد کرنش نرمال در جهات y، x و z نمی شود. بنابراین، برآیند کرنش به وجود آمده در جهت x برابر است با:

به همین ترتیب، کرنش های به وجود آمده در جهات y و z نیز قابل محاسبه خواهند بود:

در صورت مشخص بودن مقادیر تنش می توان با استفاده از معادلات بالا مقادیر کرنش در حالت تنش صفحه ای را تعیین کرد.

تنش برشی τxy باعث ایجاد انحراف در المان و تبدیل آن به یک متوازی الاضلاع لوزی شکل می شود (شکل زیر). میزان کاهش زاویه بین صفحات x و y، کرنش برشی γxy حاصل از اعمال این تنش برشی را نمایش می دهد.

با توجه قانون هوک برای مواد تحت برش، رابطه بین تنش و کرنش به صورت زیر تعریف می شود:

G: مدول برشی الاستیسیته

توجه داشته باشید که تنش های نرمال σx و σy هیچ تأثیری بر روی میزان کرنش برشی γxy ندارند. در نتیجه با استفاده از روابط بالا در حالت تنش صفحه ای می توان مقادیر کرنش های نرمال و برشی را در هنگام اعمال هم زمان تمام تنش ها محاسبه کرد.

با ترکیب روابط کرنش های نرمال (εy، εx و εz) و بازنویسی آن ها بر اساس پارامترهای تنش (σy، σx و σz)، روابط زیر به دست می آیند:

علاوه بر این، رابطه تعیین تنش برشی نیز به صورت زیر نوشته می شود:

در صورت مشخص بودن مقادیر کرنش در یک مسئله می توان از روابط بالا برای یافتن مقادیر تنش استفاده کرد.

تمامی روابط معرفی شده از ابتدای مقاله تا به اینجا با عنوان «قانون هوک برای تنش صفحه ای» شناخته می شوند.

این روابط دارای سه ثابت مرتبط با خواص ماده (G، E و ν) هستند. با این وجود، تنها دو پارامتر E و ν به عنوان ثابت های مستقل به شمار می روند؛ چراکه پارامتر G از طریق رابطه زیر به دو پارامتر دیگر وابسته است: