سازه های نامعین استاتیکی و معادلات مربوط به آن ها

سازه های نامعین استاتیکی و معادلات مربوط به آن ها:
نیروهای موجود در یک سازه معین استاتیکی بدون اطلاع از خواص مکانیکی مواد تشکیل دهنده آن محاسبه می شوند.

به عنوان مثال، میله نمایش داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید.

در این میله، نیروهای محوری داخلی و نیروی عکس العمل تکیه گاهی (R) به خواص مواد سازنده بستگی ندارند. به این ترتیب، این نیروها صرفاً با استفاده از روابط استاتیکی قابل محاسبه خواهند بود.

شکل زیر، یک سازه پیچیده تر را نمایش می دهد که محاسبه نیروهای داخلی و عکس العمل های تکیه گاهی آن با استفاده از روابط استاتیکی امکان پذیر نیست. هر دو انتهای این میله ثابت هستند. علیرغم وجود دو عکس العمل عمودی RA و RB، تنها یک معادله تعادل (جمع نیروهای موجود در راستای عمودی) برای تحلیل استاتیکی میله وجود دارد.

به دلیل تشکیل یک دستگاه یک معادله دو مجهولی و کافی نبودن تعداد معادلات مورد نیاز برای یافتن مجهولات مسئله (برای حل یک دستگاه دو مجهولی به حداقل دو معادله نیاز داریم)، سازه نمایش داده شده در شکل زیر از نظر استاتیکی نامعین خواهد بود.

برای تحلیل چنین سازه هایی باید مجموعه معادلات مورد نیاز خود را با در نظر گرفتن روابط مرتبط با جابه جایی سازه تکمیل کنیم.

به منظور آشنایی با نحوه تحلیل سازه های نامعین استاتیکی، شکل زیر را در نظر بگیرید. این شکل، یک میله منشوری را نمایش می دهد که در دو انتهای خود به تکیه گاه های صلب متصل شده است. نیروی محوری P در نقطه میانی C به میله وارد می شود.

همان گونه که در ابتدا اشاره کردیم؛ به دلیل وجود تنها یک معادله تعادل، عکس العمل های RA و RB از طریق روابط استاتیکی قابل محاسبه نخواهند بود. معادله اول، با استفاده از روابط استاتیکی و در نظر گرفتن تعادل نیروها در راستای عمودی به دست می آید:

با مشخص کردن معادله اول، برای تعیین دو مجهول مسئله به یک معادله دیگر نیاز خواهیم داشت. دستیابی به معادله دوم با بررسی جابه جایی های درون سازه امکان پذیر خواهد شد. به دلیل ثابت بودن دو انتهای میله، هیچ تغییری در طول آن رخ نخواهد داد.

با توجه به این نکته می توانیم معادله دوم را به دست بیاوریم. اگر میله را همانند شکل زیر از تکیه گاه هایش جدا کنیم، میله ای به دست می آید که هر دو انتهای آن آزاد هستند و سه نیروی RB، RA و P به آن وارد می شوند.

نیروهای اعمال شده به میله باعث تغییر طول آن به اندازه δAB می شوند. توجه داشته باشید که به دلیل ثابت بودن تکیه گاه های سازه، مقدار این تغییر طول باید برابر با صفر باشد:

به معادله بالا، «معادله سازگاری» (Equation of Compatibility) گفته می شود. بر اساس عنوان این معادله، تغییر طول میله باید با وضعیت تکیه گاه های آن سازگار باشد. برای حل دو معادله به دست آمده باید معادله سازگاری را بر حسب نیروهای مجهول RA و RB بازنویسی کنیم.

روابط بین نیروهای اعمال شده بر روی یک میله و تغییرات طول ناشی از این نیروها، با عنوان «روابط نیرو-جابه جایی» (Force-Displacement Relations) شناخته می شوند. این روابط دارای فرم های مختلفی هستند که هر یک از آن ها به خواص ماده بستگی دارد.

به عنوان مثال، اگر ماده تشکیل دهنده میله الاستیک خطی باشد، می توان از معادله δ=PL/EA برای دستیابی به روابط نیرو-جابه جایی استفاده کرد. مساحت سطح مقطع میله بالا را برابر با A و مدول الاستیسیته ماده تشکیل دهنده آن را برابر با E در نظر بگیرید.

با توجه به این کمیت ها، تغییر طول بخش های بالایی و پایینی میله با استفاده از روابط زیر تعیین می شود:

به این ترتیب، روابط نیرو-جابه جایی برای میله مورد تحلیل به دست می آیند (علامت منفی به معنای کاهش طول میله است). اکنون به منظور یافتن مجهولات مسئله می توانیم معادله تعادل، معادله سازگاری و روابط نیرو-جابه جایی را به طور هم زمان حل کنیم.

برای این مسئله خاص، در مرحله اول روابط نیرو-جابه جایی را با معادله سازگاری ترکیب می کنیم:

دقت داشته باشید که هر دو مجهول مسئله در این معادله جدید نیز وجود دارند. به همین دلیل، معادله بالا و معادله تعادل را به طور هم زمان حل می کنیم.

با حل این دستگاه دو معادله دو مجهولی، نتایج زیر حاصل می شوند:

با مشخص شدن مقدار عکس العمل های RA و RB، مقادیر نیروها و جابه جایی ها نیز قابل محاسبه خواهند بود. به عنوان مثال، فرض کنید بخواهیم جابه جایی رو به پایین نقطه C را محاسبه کنیم. این جابه جایی (δC) با تغییر طول بخش AC برابر است.

به این ترتیب داریم:

با تعیین مجهولات مسئله و مقادیر نیروهای داخلی، امکان محاسبه تنش های موجود در بخش های میله نیز فراهم می شود (به عنوان مثال، σAC=RA/A=Pb/AL).

نکات تکمیلی:
در این مقاله نشان دادیم که تحلیل یک سازه نامعین استاتیکی نیازمند تعیین و حل معادلات تعادل، معادلات سازگاری و روابط نیرو-جابه جایی است.

معادلات تعادل، ارتباط بین نیروهای اعمال شده بر روی سازه با نیروهای مجهول (عکس العمل ها یا نیروهای داخلی) و معادلات سازگاری، وضعیت جابه جایی های سازه را نمایش می دهند. روابط نیرو-جابه جایی نیز عبارت هایی هستند که با استفاده از ویژگی های هندسی و مکانیکی، نحوه ارتباط بین نیروها و جابه جایی های درون عضوهای سازه را تعریف می کنند.

برای میله های الاستیک خطی که تحت بارگذاری محوری قرار دارند، روابط مورد نیاز بر اساس معادله δ=PL/EA تعیین می شوند.

در نهایت، با حل این سه مجموعه معادلات می توان نیروها و جابه جایی های مجهول مسئله را محاسبه کرد.

در منابع و کتب مهندسی، اصلاحات مختلفی برای بیان معادلات تعادل، سازگاری و نیرو-جابه جایی مورد استفاده قرار می گیرند.

به عنوان مثال، معادلات تعادل با عنوان «معادلات استاتیک» (Static Equations) یا «معادلات سینتیک» (Kinetic Equations)، معادلات سازگاری با عنوان «معادلات هندسی» (Geometric Equations)، «معادلات سینماتیک» (Kinematic Equations) یا «معادلات تغییر شکل های سازگار» (Equations of Consistent Deformations) و روابط نیرو-جابه جایی با عنوان «روابط مشخصه» (Constitutive Relations) نیز شناخته می شوند.

برای سازه های ساده (مانند مثالی که در این مقاله مورد تحلیل قرار گرفت)، روش معرفی شده برای حل مسئله کفایت می کند.

اگرچه، به منظور تحلیل سازه های پیچیده باید از رویکردهای دقیق تری استفاده کرد. «روش انعطاف پذیری» (Flexibility Method) یا «روش نیرو» (Force Method) و «روش سختی» (Stiffness Method) یا «روش جابه جایی» (Displacement Method) به عنوان روش های متداول در این حوزه شناخته می شوند.

استفاده از این روش ها برای تحلیل سازه های بزرگ و پیچیده نیازمند حل هم زمان صدها و گاهی اوقات هزاران معادله است.

با این وجود، این روش ها نیز بر اساس مفاهیم معادلات تعادل، معادلات سازگاری و روابط نیرو-جابه جایی عمل می کنند.