کرنش های موجود در حالت برش خالص

کرنش های موجود در حالت برش خالص:
در این بخش می خواهیم کرنش های موجود بر روی یک المان تحت برش خالص را مورد بررسی قرار دهیم. برای شروع تحلیل، المان نمایش داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید.

کرنش برشی γ، میزان تغییر زاویه بین دو خط عمود در المان اولیه پس از اعمال بارگذاری را نمایش می دهد.

در المان زیر، میزان کاهش زاویه گوشه پایین-چپ المان به عنوان کرنش برشی γ در نظر گرفته می شود. اندازه گیری این کرنش بر حسب رادیان صورت می گیرد.

میزان کاهش زاویه گوشه بالا-راست و افزایش زاویه دو گوشه دیگر نیز با کرنش برشی γ برابر خواهد بود. با وجود این تغییرات، طول اضلاع المان در حین رخ دادن تغییر شکل های برشی ثابت باقی می ماند.

بنابراین، شکل المان از یک متوازی السطوح قائم (شکل سمت چپ) به یک متوازی السطوح مایل (شکل سمت راست) تغییر می کند.

این تغییرات با عنوان «اعوجاج برشی» (Shear Distortion) شناخته می شود.

اگر با ماده الاستیک خطی مواجه باشیم، رابطه بین کرنش برشی المان دوران یافته تحت زاویه θ=0 و تنش برشی آن با استفاده از قانون هوک برای مواد تحت برش به دست می آید:

G: مدول برشی:
در مرحله بعد، کرنش های موجود بر روی المان دوران یافته تحت زاویه θ=45 را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید.

در این حالت، تنش های کششی تمایل به افزایش طول المان در راستای 45 درجه دارند.

به دلیل اثر پواسون، اعمال این تنش ها باعث کاهش طول المان در راستای عمود بر این راستا (135 یا 45-) نیز می شود.

به همین ترتیب، تنش های فشاری اعمال شده در زاویه 135 درجه تمایل به کاهش طول المان در راستای مذکور و افزایش طول آن در راستای 45 درجه دارند.

تغییر ابعاد المان در شکل زیر قابل مشاهده است (خط چین ها). به دلیل عدم وجود انحراف برشی در این حالت، شکل المان تغییریافته به صورت یک متوازی السطوح قائم باقی می ماند.

اگر ماده مورد بررسی الاستیک خطی باشد و رفتار آن از قانون هوک پیروی کند، امکان تعیین رابطه بین تنش و کرنش اعمال شده بر روی المان دوران یافته تحت زاویه θ=45 وجود خواهد داشت.

در این صورت، تنش کششی σmax در زاویه θ=45 باعث ایجاد کرنش نرمال σmax/E در همین راستا می شود. با در نظر گرفتن σmax=τ می توانیم این کرنش را با τ/E بیان کنیم.

تنش σmax علاوه بر τ/E راستای 45 درجه، کرنش ντ/E- در راستای عمود بر 45 درجه را نیز به وجود می آورد. ν، نسبت پواسون ماده را نمایش می دهد.

به همین شکل، تنش σmin=-τ در θ=-135 باعث ایجاد کرنشی برابر با τ/E- در همین راستا و کرنشی برابر با ντ/E در راستای عمود می شود.

بنابراین، کرنش نرمال در زاویه 45 به صورت زیر به دست می آید:

مثبت بودن این رابطه، افزایش طول المان را نمایش می دهد. کرنش موجود در راستای عمود دارای مقداری برابر اما با علامت منفی است.

به عبارت دیگر، برش خالص باعث ایجاد افزایش طول در راستای 45 درجه و کاهش طول در راستای 135 درجه می شود. این کرنش ها با شکل المان تغییریافته زیر مطابقت دارند.

رابطه زیر بین کرنش برشی و کرنش نرمال برقرار است:

در صورت مشخص بودن مقدار تنش برشی τ می توان با ادغام رابطه بالا با γ=τ/G، کرنش های برشی ماکسیمم و کرنش های نرمال ماکسیمم در حالت پیچش خالص را محاسبه کرد.