چگالی انرژی کرنشی در شرایط بارگذاری پیچشی

چگالی انرژی کرنشی در شرایط بارگذاری پیچشی:
در شرایط بارگذاری پیچشی، هر یک از المان های میله تحت برش خالص قرار دارند.

از این رو، به دست آوردن رابطه ای برای تعیین انرژی کرنشی بر حسب تنش های برشی، روش مناسبی برای تحلیل این شرایط خواهد بود. به این منظور، المان نمایش داده شده در شکل زیر را مورد بررسی قرار می دهیم.

تمام صفحات کناری این المان در معرض تنش های برشی قرار دارند. برای سادگی تحلیل، صفحه جلویی المان را به شکل مربعی با طول h در نظر می گیریم.

شکل زیر، نمای دوبعدی المان تنش را نمایش می دهد. توجه داشته باشید که این المان دارای ضخامت t در راستای عمود بر صفحه است.

با اعمال تنش های برشی و ایجاد اعوجاج در المان مورد نظر، صفحه جلویی آن به شکل لوزی درمی آید. میزان تغییر زاویه هر گوشه المان با کرنش برشی γ برابر است.

شکل زیر، نیروهای برشی اعمال شده بر روی صفحات کناری المان مورد بررسی را نمایش می دهد. با ضرب تنش های برشی در مساحت هر صفحه (ht)، میزان نیروهای برشی نیز به دست می آید:

با تغییر شکل المان، نیروهای V باعث ایجاد کار می شوند. به منظور محاسبه کارِ انجام شده باید فاصله نسبی حرکت نیروها را تعیین کنیم.

اگر المان تحت نیرو را به گونه ای بچرخانیم که دو صفحه آن مطابق شکل زیر به صورت افقی درآیند، محاسبه کارِ انجام شده راحت تر خواهد بود.

با توجه به شکل بالا، صفحه بالایی المان نسبت به صفحه پایینی آن به اندازه δ جابجا شده است. مقدار این جابه جایی از ضرب کرنش برشی در طول المان به دست می آید:

با فرض الاستیک خطی بودن ماده و پیروی آن از قانون هوک، کار انجام شده و انرژی کرنشی ذخیره شده در المان مورد بررسی برابر با رابطه زیر خواهد بود:

توجه داشته باشید که نیروهای موجود بر روی صفحات سمت راست و چپ المان در راستای اعمال خود جابجا نمی شوند. به همین دلیل، کار انجام شده توسط آن ها صفر است. با جایگذاری V=τht و δ=γh در رابطه بالا، خواهیم داشت:

حجم المان از رابطه h2t به دست می آید. به این ترتیب، چگالی انرژی کرنشی (انرژی کرنشی بر واحد حجم) برابر است با:

با توجه به قانون هوک برای مواد تحت برش، رابطه چگالی انرژی کرنشی در شرایط بر خالص به صورت زیر خواهد بود:

چگالی انرژی کرنشی در سیستم SI با واحد ژول بر متر مکعب (J/m3) و در سیستم یکاهای آمریکایی با واحد اینچ-پوند (in-lb) یا دیگر واحدهای مشابه بیان می شود.

این واحدها با واحدهای تنش یکسان هستند. از این رو می توان چگالی انرژی کرنشی را با واحدهای پاسکال (Pa) یا پوند بر اینچ مربع (psi) نیز بیان کرد.

این کمیت به منظور تعیین زاویه پیچش لوله های جدار نازک مورد استفاده قرار می گیرد.