رابطه پیچش برای لوله های جدار نازک

رابطه پیچش برای لوله های جدار نازک:

قدم بعدی در تحلیل لوله های جدار نازک، مشخص کردن رابطه بین جریان برش و گشتاور پیچشی است. به این منظور، سطح مقطع نمایش داده شده در بخش قبلی را مورد بررسی قرار می دهیم (شکل زیر).

خط میانی جداره لوله با خط چین نمایش داده شده است. اکنون، بخشی از سطح مقطع مورد بررسی با طول ds و ضخامت t را در نظر بگیرید. فاصله s، موقعیت المان در نظر گرفته شده تا یک نقطه مرجع دلخواه را نمایش می دهد.

نیروی برشی کل بر روی المان سطح برابر با fds است. گشتاور این نیرو حول نقطه O به صورت زیر تعیین می شود:

r، فاصله عمودی از نقطه O تا خط اثر نیروی fds را نمایش می دهد. توجه داشته باشید که خط اثر fds بر روی خط میانی سطح مقطع در المان ds مماس است.

گشتاور پیچشی ناشی از تنش های برشی با انتگرال گیری بر روی محدوده خط میانی سطح مقطع به دست می آید:

Lm: طول خط میانی

در برخی از موارد، انتگرال گیری از رابطه بالا بسیار دشوار است اما خوشبختانه این مشکل با استفاده از ساده سازی های هندسی برطرف می شود.

کمیت rds، دو برابر مساحت مثلث هاشور خورده در شکل زیر را نمایش می دهد. توجه داشته باشید که قاعده این مثلث برابر با ds و ارتفاع آن برابر با r است.

به این ترتیب، انتگرال کل، دو برابر مساحت به دست آمده از منحنی بسته خط میانی (Am) خواهد بود:

با توجه به رابطه قبلی، به رابطه T=2fAm می رسیم. بنابراین، جریان برشی برابر است با:

اگر f=τt را درون رابطه بالا قرار دهیم، به رابطه پیچش برای لوله های جدار نازک دست می یابیم:

t: ضخامت جدار لوله؛ Am: مساحت سطح مقطع (با توجه به خط میانی)؛ τ: تنش های برشی؛ T: گشتاور پیچشی

برای نمایش کاربرد رابطه پیچش، یک لوله جدا نازک دایره ای با ضخامت t و شعاع r نسبت به خط میانی را در نظر بگیرید.

مساحت ناحیه به وجود آمده توسط خط میانی برابر است با:

با توجه به این رابطه، تنش برشی به صورت زیر تعیین می شود:

رابطه بالا مشابه رابطه پیچش در یک لوله دایره ای با دیواره نازک است. برای بررسی حالت های دیگر، یک لوله جدار نازک با سطح مقطع مستطیلی شکل، ضخامت t1 در کناره ها و ضخامت t2 در بالا و پایین را در نظر بگیرید. ارتفاع و عرض این لوله (با توجه به خط میانی سطح مقطع) به ترتیب برابر با h و b است.

مساحت ناحیه داخل خط میانی سطح مقطع به صورت زیر تعیین می شود:

تنش های برشی در صفحات عمودی و افقی لوله نیز به صورت زیر به دست می آیند:

τver: تنش برشی عمودی؛ τhoriz: تنش برشی افقی؛ t1: ضخامت بخش های کناری؛ t2: ضخامت بخش های بالایی و پایینی

اگر t2 از t1 بزرگ تر باشد، تنش برشی ماکسیمم در بخش های عمودی سطح مقطع رخ می دهد.