رابطه بین بار، نیروی برشی و گشتاور خمشی (بار گسترده)

رابطه بین بار، نیروی برشی و گشتاور خمشی (بار گسترده):

اولین نوع باری که در این مقاله مورد بررسی قرار می دهیم، یک بار گسترده یکنواخت با شدت q است (شکل زیر). برای این حالت، در ابتدا رابطه بین شدت بار و نیروی برشی، سپس رابطه بین نیروی برشی و گشتاور خمشی را به دست می آوریم.

روابط بین نیروی برشی و شدت بار گسترده:
با در نظر گرفتن علامت مثبت برای نیروهای رو به بالا، معادله تعادل نیروهای موجود در راستای عمودی به صورت زیر خواهد بود:

یا

بر اساس این معادله می توان مشاهده کرد که نرخ تغییر نیروی برشی در هر یک از نقاط موجود بر روی محور تیر با مقدار منفی شدت بار گسترده در همان نقطه برابر است.

توجه داشته باشید که اگر قاعده علامت گذاری بار گسترده برعکس باشد (q رو به بالا مثبت در نظر گرفته شود)، از علامت منفی معادله صرف نظر خواهد شد.

با استفاده از معادله بالا می توان چندین رابطه کاربردی را به دست آورد. به عنوان مثال، اگر هیچ بار گسترده ای بر روی بخشی از تیر وجود نداشته باشد (q=0)، مقدار dV/dx برابر با صفر خواهد بود و نیروی برشی در بخش مذکور ثابت خواهد ماند.

علاوه بر این، در صورت یکنواخت بودن بار گسترده بر روی بخشی از تیر (ثابت=q)، مقدار dV/dx نیز تغییر نخواهد کرد و تغییرات نیروی برشی در بخش مذکور به صورت خطی خواهد بود.

برای درک بهتر رابطه معرفی شده در این بخش، شکل زیر را در نظر بگیرید. این شکل، تیر ساده ای را نمایش می دهد که در معرض یک بار گسترده متغیر قرار گرفته است.

شدت این بار از مقدار صفر در نقطه A تا مقدار q0 در نقطه B به صورت خطی تغییر می کند.

برآیند بار اعمال شده بر روی این تیر به صورت زیر محاسبه می شود:

به دلیل رو به پایین بودن جهت اعمال بار، شدت بار دارای علامت مثبت است. در صورت رسم نمودار جسم آزاد کل تیر، تعیین عکس العمل های تکیه گاهی و جمع نیروهای موجود در راستای عمودی، رابطه مورد نیاز برای محاسبه نیروی برشی به دست می آید (مثال 3 در مبحث تحلیل نیروی برشی و گشتاور خمشی در تیرها):

اگر از رابطه بالا مشتق بگیریم:

این رابطه با رابطه به دست آمده در ابتدای این بخش (dV/dx=-q) مطابقت دارد. اگر از رابطه بالا در محدوده محور طولی تیر انتگرال بگیریم، یک رابطه کاربردی برای تعیین نیروهای برشی موجود در بین دو سطح مقطع متفاوت به دست می آید. به این منظور، ابتدا هر دو طرف رابطه بالا را در dx ضرب می کنیم.

سپس، در محدوده نقاط A و B بر روی محور تیر از عبارات دو طرف معادله انتگرال می گیریم:

مقدار x با حرکت از روی نقطه A به سمت نقطه B افزایش می یابد. انتگرال سمت چپ در معادله بالا با تفاضل نیروهای برشی نقطه B و A (یعنی VB-VA) برابر است.

انتگرال سمت راست، مساحت نمودار بارگذاری در محدوده A تا B را نمایش می دهد. مقدار این انتگرال با برآیند بار گسترده اعمال شده در محدوده مذکور برابری می کند. به این ترتیب داریم:

به عبارت دیگر، تغییرات نیروی برشی بین دو نقطه موجود بر روی محور تیر با مقدار منفی برآیند بار اعمال شده بر روی این محدوده برابر است.

در صورت رو به پایین بودن جهت اعمال q، مساحت نمودار بارگذاری دارای علامت مثبت و در صورت رو به بالا بودن جهت اعمال q، این مساحت دارای علامت منفی خواهد بود.

توجه: معادلات معرفی شده در این بخش با در نظر گرفتن المانی به دست آمد که در معرض بار گسترده قرار داشت. به همین دلیل، این معادلات برای شرایط بارگذاری متمرکز به کار برده نمی شوند.

روابط بین نیروی برشی و گشتاور خمشی:
در مرحله بعد، تعادل گشتاور المان تیر را در نظر می گیریم. با جمع گشتاورها حول محوری بر روی ضلع چپ المان (محوری عمود بر صفحه دربرگیرنده شکل) خواهیم داشت:

به دلیل کوچک بودن مقادیر حاصل از ضرب دو عبارت دیفرانسیلی (مانند dV*dx) نسبت به عبارات دیگر می توانیم از این موارد در رابطه بالا صرف نظر کنیم. با این کار به رابطه زیر خواهیم رسید:

این معادله نشان می دهد که نرخ تغییرات گشتاور خمشی در هر یک از نقاط موجود بر روی محور تیر با نیروی برشی در همان نقطه برابر است.

به عنوان مثال، اگر نیروی برشی در بخشی از تیر برابر با صفر باشد، گشتاور خمشی در آن محدوده ثابت خواهد بود. معادله بالا فقط برای نواحی تحت بار گسترده یا بدون بار کاربرد دارد. در نقطه ای که بار متمرکز بر روی آن اعمال می شود، یک تغییر ناگهانی در مقدار نیروی برشی رخ می دهد.

در این محل، مشتق dM/dx تعریف نشده است. برای یک تیر ساده تحت بار گسترده متغیر (مانند مثال 3 در مبحث تحلیل نیروی برشی و گشتاور خمشی در تیرها)، گشتاور خمشی با استفاده از رابطه زیر به دست می آید:

به این ترتیب، مشتق dM/dx به صورت زیر خواهد بود:

این رابطه با رابطه نیروی برشی یکسان است (dm/dx=V). اگر این رابطه را به صورت dm=Vdx بازنویسی کنیم و از دو طرف آن در محدوده A تا B انتگرال بگیریم:

انتگرال سمت چپ با تفاضل گشتاورهای خمشی موجود در نقاط B و A برابر خواهد بود (MB-MA). به منظور تفسیر انتگرال سمت راست، نمودار نیروی برشی (تغییرات نیروی برشی V با توجه به فاصله x) را در نظر بگیرید. این انتگرال، مساحت زیر نمودار نیروی برشی در محدوده A تا B را نمایش می دهد. به این ترتیب داریم:

این معادله حتی در هنگام اعمال بارهای متمرکز بر روی تیر نیز قابل استفاده است. با این وجود، اگر یک کوپل در فاصله بین A تا B بر روی تیر اعمال شود، معادله بالا کاربردی نخواهد داشت.

اعمال کوپل باعث ایجاد یک تغییر ناگهانی (ناپیوستگی) در میزان گشتاور خمشی می شود. به همین دلیل، انتگرال سمت چپ (در معادله قبلی) بر روی این ناپیوستگی قابل محاسبه نخواهد بود.