نمودار نیروی برشی و گشتاور خمشی (چندین بار متمرکز)

نمودار نیروی برشی و گشتاور خمشی (چندین بار متمرکز):

در صورت اعمال چندین بار متمرکز بر روی یک تیر ساده، روابط مربوط به نیروهای برشی و گشتاورهای خمشی، برای هر یک از نواحی بین محل اعمال بارها تعیین می شوند.

اگر نمودار جسم آزاد بخش سمت چپ تیر در فاصله x از انتهای A را رسم کنیم، معادلات زیر برای بخش اول تیر به دست می آیند:

معادلات مربوط به بخش دوم تیر نیز به صورت زیر خواهند بود:

برای بخش سوم و چهارم می توانیم از نمودار جسم آزاد سمت راست تیر استفاده کنیم. در این حالت، تعداد بارهای اعمال شده بر روی نمودارهای جسم آزاد کم تر خواهد بود. به این ترتیب، برای نیروی برشی و گشتاور خمشی بخش سوم خواهیم داشت:

در نهایت، روابط مربوط به تعیین نیروی برشی و گشتاور خمشی در بخش چهارم تیر نیز به صورت زیر خواهند بود:

معادلات به دست آمده در این بخش را می توان برای رسم نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی مورد استفاده قرار داد. شکل زیر، نمودار نیروی برشی تیر مورد بررسی در این بخش را نمایش می دهد.

بر اساس این نمودار، مقدار نیروی برشی در هر بخش تیر ثابت است و با رسیدن به محل اعمال هر یک از بارهای متمرکز، مقدار این نیرو به صورت ناگهانی و به اندازه بار اعمال شده تغییر می کند.

شکل زیر، نمودار گشتاور خمشی تیر مورد تحلیل را نمایش می دهد. با توجه به این نمودار، مقدار گشتاور خمشی در هر بخش تیر، یک تابع خطی از فاصله x است.

به این ترتیب، نمودار گشتاور خمشی مربوط به هر بخش، یک خط شیب دار مستقیم خواهد بود.

به منظور رسم این خطوط می توانیم مقادیر x=a2، x=a1 و x=a3 را در معادلات به دست آمده جایگذاری کنیم و گشتاورهای مربوط به هر بخش را به دست بیاوریم.

به این ترتیب، خواهیم داشت:

اگر نقاط معرف این مقادیر را توسط خطوط مستقیم به هم وصل کنیم، نمودار گشتاور خمشی کل تیر ایجاد می شود (مانند نمودار بالا).

برای هر بخش از نمودار نیروی برشی، شیب متناظر dM/dx در نمودار گشتاور خمشی تغییر می کند. اختلاف بین گشتاورهای خمشی در فاصله بین دو نقطه بارگذاری با مساحت نمودار نیروی برشی در همان محدوده برابر است.

به عنوان مثال، اختلاف بین گشتاورهای خمشی در فاصله P1 تا P2، از رابطه M2-M1 به دست می آید.

با توجه به روابط به دست آمده برای گشتاورهای خمشی هر بخش، داریم:

این رابطه، مساحت نمودار نیروی برشی در محدوده x=a1 تا x=a2 را نمایش می دهد. گشتاور خمشی ماکسیمم در تیرهایی که فقط تحت بارهای متمرکز قرار دارند در زیر یکی از این بارها یا یکی از تکیه گاه ها رخ می دهد.

به خاطر داشته باشید که شیب نمودار گشتاور خمشی با نیروی برشی برابر است.

بنابراین در گشتاورهای خمشی مینیمم یا ماکسیمم، عبارت dM/dx (شیب نمودار گشتاور) و نیروی برشی تغییر علامت می دهند. به علاوه، در تیرهایی که فقط تحت بارهای متمرکز قرار دارند، علامت تنش برشی تنها در زیر محل اعمال بار تغییر می کند.

اگر در حین حرکت بر روی محور x، نیروی برشی مانند شکل زیر از یک مقدار مثبت به یک مقدار منفی تغییر کند، شیب نمودار گشتاور خمشی تیز از مثبت به منفی تغییر خواهد کرد. این مسئله بیانگر وجود گشتاور خمشی ماکسیمم در این سطح مقطع است.

در طرف مقابل، تغییر مقدار نیروی برشی از منفی به مثبت، وجود یک گشتاور خمشی مینیمم را نمایش می دهد. از نظر تئوری، نمودار نیروی برشی می تواند محور افقی را در چند محل مختلف قطع کند.

با این وجود، احتمال رخ دادن چنین حالتی بسیار پایین است.

در این صورت، برای هر یک از نقاط تقاطع در نمودار نیروی برشی، یک مقدار مینیمم یا ماکسیمم محلی در نمودار گشتاور خمشی به وجود می آید. در نتیجه، به منظور یافتن گشتاورهای خمشی ماکسیمم مثبت و منفی باید تمام مقادیر مینیمم و ماکسیمم محلی را با هم مقایسه کرد.

نکات تکمیلی:
عبارت های ماکسیمم و مینیمم در اغلب موارد برای بیان مفهوم بزرگ ترین و کوچک ترین مقدار مورد استفاده قرار می گیرند.

در نتیجه، صرف نظر از روش رسم نمودار گشتاور خمشی (به کارگیری یک تابع پیوسته هموار یا اتصال چندین خط مستقیم)، عبارت گشتاور خمشی ماکسیمم یک مقدار حداکثری را بیان می کند.

علاوه بر این نکته، در اغلب موارد باید بین کمیت های مثبت و منفی تمایز قائل شد. به این منظور می توان از عبارت هایی نظیر گشتاور ماکسیمم مثبت یا گشتاور ماکسیمم منفی نیز استفاده کرد.

در هر دو مورد، عبارت گشتاور ماکسیمم مثبت/منفی بیانگر کمیتی با بزرگ ترین مقدار عددی است. به عنوان مثال، گشتاور ماکسیمم منفی در واقع بزرگ ترین مقدار عددی گشتاور منفی را نمایش می دهد. این توضیحات برای کمیت های دیگری نظیر نیروی برشی و خمیدگی نیز صادق هستند.

احتمال رخ دادن گشتاورهای خمشی ماکسیمم مثبت و منفی در نقاط زیر وجود دارد:

• سطح مقطعی که تحت بار متمرکز قرار گرفته باشد و نیروی برشی در آن نقطه تغییر علامت دهد.
• سطح مقطعی که نیروی برشی در آن برابر با صفر است.
• تکیه گاهی که یک عکس العمل عمودی در آن وجود دارد.
• سطح مقطعی که یک کوپل بر روی آن اعمال می شود.

توجه: مصادیق هر یک از موارد بالا را می توانید در بخش های قبلی مشاهده کنید.

در صورت اعمال چندین بار بر روی یک تیر، نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی با استفاده از برهم نهی (جمع بندی) نمودارهای حاصل از هر بخش قابل رسم خواهند بود.

به عنوان مثال، نمودار نیروی برشی شکل زیر (اعمال چندین بار متمرکز)، در واقع از جمع سه نمودار مجزا (مانند نمودار اعمال یک بار متمرکز) به دست آمده است.

برهم نهی نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی در تیرهای معین استاتیکی هیچ مانعی ندارد؛ چراکه در این نوع تیرها، رابطه بین نیروهای برشی و گشتاورهای خمشی با بارهای اعمال شده به صورت خطی است.

برنامه های کامپیوتری و سایت های اینترنتی مختلف (به عنوان مثال skyciv و beamguru)، امکان رسم نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی را فراهم می کنند. بعد از یادگیری مبانی این نمودارها و نحوه رسم آن ها می توانید از این ابزارها برای تحلیل مثال های عددی استفاده کنید.