تعریف رابطه انحنا

تعریف رابطه انحنا:

هنگامی که یک تیر در معرض بارهای خمشی قرار می گیرد، محور طولی آن از یک خط راست به یک منحنی تغییر شکل می دهد (مانند شکل زیر).

در این شرایط، تنش و کرنش های به وجود آمده در تیر با انحنای نمودار تغییر شکل رابطه مستقیم دارد.

به منظور نمایش بهتر مفهوم انحنا، تیر یکسر گیردار زیر را در نظر بگیرید. بار متمرکز P بر روی انتهای آزاد این تیر اعمال می شود. در شکل زیر، منحنی تغییر شکل تیر AB نیز به همراه پیکربندی آن نمایش داده شده است. برای شروع تحلیل، دو نقطه m1 و m2 را بر روی این منحنی مشخص می کنیم.

نقطه m1 را در یک محل دلخواه با فاصله x از محور y و نقطه m2 را در فاصله بسیار کمی (ds) از نقطه قبلی در نظر می گیریم.

اگر در محل قرارگیری هر یک از این نقاط، خطی را بر منحنی تغییر شکل مماس کرده و سپس از روی نقاط، خطوط عمود بر این مماس ها را رسم کنیم، دو خط عمود بر منحنی تغییر شکل در نقطه ‘O با هم برخورد می کنند.

این نقطه با عنوان «مرکز انحنا» (Center of Curvature) شناخته می شود. در اکثر مواقع به دلیل وجود تغییر شکل های بسیار کوچک و انحنای بسیار کم در منحنی های تغییر شکل، نقطه ‘O معمولاً در فاصله بسیار دور از تیر قرار می گیرد.

در شکل زیر، به منظور نمایش بهتر انحنا و موقعیت قرارگیری مرکز انحنای آن، تغییر شکل تیر با اغراق به تصویر کشیده شده است.

به فاصله بین نقطه m1 بر روی منحنی تا مرکز انحنا در نقطه ‘O، «شعاع انحنا» (Radius of Curvature) می گویند و آن را با حرف یونانی ρ (رو) نمایش می دهند. «انحنا» (Curvature)، به عنوان عکسِ شعاع انحنا تعریف شده و با حرف یونانی κ (کاپا) نمایش داده می شود. به این ترتیب، داریم:

انحنا، معیاری برای نمایش شدت خمیدگی تیر است. اگر میزان بار اعمال شده بر روی یک تیر کوچک باشد، محور تیر تقریباً صاف، شعاع انحنای آن بسیار بزرگ و انحنای آن بسیار کم خواهد بود.

با افزایش میزان بار، خمیدگی تیر نیز افزایش خواهد یافت (کاهش شعاع انحنا و افزایش انحنا). بر اساس هندسه مثلث O’m1m2، رابطه زیر به دست می آید:

dθ: زاویه بسیار کوچک بین خطوط عمود بر منحنی (بر حسب رادیان)؛ ds: طول بسیار کوچک منحنی در فاصله بین نقاط m1 تا m2

اگر رابطه بالا را با رابطه انحنا ترکیب کنیم، خواهیم داشت:

در کتاب های درسی مرتبط با معادلات دیفرانسیل، رابطه بالا برای تمام منحنی ها (صرف نظر از میزان انحنا) صادق است.

اگر میزان انحنا بر روی تمام بخش های یک منحنی ثابت باشد، شعاع انحنا نیز ثابت خواهد بود. در این حالت، منحنی مورد تحلیل به عنوان کمانی از یک دایره فرضی در نظر گرفته می شود.

معمولاً میزان خمیدگی یک تیر نسبت به طول آن بسیار کوچک است. خمیدگی های کوچک به معنای صاف بودن تقریبی منحنی تغییر شکل هستند.

از این رو، طول ds را می توان با طول تصویر آن بر روی محور افقی (dx) برابر در نظر گرفت. به این ترتیب، رابطه انحنا برای خمیدگی های کوچک به صورت زیر نوشته خواهد شد:

در رابطه بالا، هر دو کمیت انحنا و شعاع انحنا به عنوان تابعی از فاصله x بر روی محور x در نظر گرفته می شوند.

بنابراین، محل قرارگیری مرکز انحنا (’O) نیز به فاصله x بستگی خواهد داشت. میزان انحنای به وجود آمده در یک نقطه خاص بر روی محور تیر به مقدار گشتاور خمشی موجود در آن نقطه و خواص تیر (نظیر شکل سطح مقطع و نوع ماده تشکیل دهنده) بستگی دارد.

از این رو، اگر سطح مقطع یک تیر در راستای محور طولی خود بدون تغییر (سطح مقطع منشوری) و ماده تشکیل دهنده آن در همه نقاط یکسان (همگن) باشد، میزان تغییرات انحنا فقط به گشتاور خمشی وابسته خواهد بود.

در نتیجه، یک تیر در شرایط خمش خالص، دارای انحنای ثابت و در شرایط خمش غیر یکنواخت، دارای انحنای متغیر است.

قاعده علامت گذاری:
قاعده علامت گذاری انحنا به جهت گیری محورهای مختصات بستگی دارد.

اگر سمت راست محور x و بخش بالایی محور y به عنوان نواحی مثبت در نظر گرفته شوند، خمیدگی رو به بالا و قرارگیری مرکز انحنا در بالای تیر بیانگر مثبت بودن علامت انحنا خواهد بود (بخش الف در شکل زیر).

در طرف مقابل، خمیدگی رو به پایین و قرارگیری مرکز انحنا در پایین تیر، منفی بودن علامت انحنا را نمایش خواهد داد (بخش ب در شکل زیر).