تحلیل تیرهای غیر منشوری در شرایط بارگذاری خمشی

تیرهای غیر منشوری:
اگر تغییر ابعاد مقاطع تیرهای غیر منشوری به صورت تدریجی باشد (مانند مثال های زیر)، دقت رابطه خمش برای تعیین تنش های خمشی موجود در این نوع تیرها قابل قبول خواهد بود.

چند مثال از تیرهای غیر منشوری: تیر چراغ برق؛ پل دارای ستون و شاه تیر مخروطی؛ پایه چرخ یک هواپیمای کوچک؛ دسته آچار

نحوه تغییر تنش های خمشی بر روی محور طولی یک تیر غیر منشوری با یک تیر منشوری تفاوت دارد.

به دلیل ثابت بودن مدول مقطع S در یک تیر منشوری، تنش های موجود متناسب با گشتاور خمشی تغییر می کنند (σ=M/S).

اگرچه در یک تیر غیر منشوری، مدول مقطع بر روی محور نیز با تغییر همراه است. به همین دلیل، تنش های ماکسیمم در سطح مقطع دربرگیرنده گشتاور خمشی ماکسیمم رخ نمی دهند (مانند مثال 1 در انتهای مقاله).

تیر تمام تنیده:
برای به حداقل رساندن میزان مواد تشکیل دهنده تیر و کاهش وزن آن، ابعاد سطح مقطع در نقاط مختلف به صورت متغیر طراحی می شوند.

نحوه طراحی این تغییرات به گونه ای است که حداکثر مقدار مجاز تنش خمشی بر روی هر مقطع رخ می دهد.

تیری که در این حالت قرار داشته باشد با عنوان «تیر تمام تنیده» (Fully Stressed Beam) یا «تیر مقاومت ثابت» (Beam of Constant Strength) شناخته می شود.

توجه داشته باشید که به دلیل محدودیت های اجرایی در ساخت تیرها و احتمال متفاوت بودن بارهای فرضی با شرایط واقعی، دستیابی به شرایط ایدئال به ندرت رخ می دهد.

با این اوصاف، شناخت خواص یک تیر تمام تنیده به طراحی سازه هایی با حداقل وزن ممکن کمک خواهد کرد.

فنرهای شمشی یا تیغه ای موجود در اتومبیل ها، پل های دارای شاه تیر و موارد نمایش داده شده در شکل زیر از سازه های شناخته شده ای هستند که برای تحمل تنش های ماکسیمم طراحی شده اند.

مثال ها:
در این بخش به منظور آشنایی با نحوه تحلیل تیرهای غیر منشوری و تعیین شکل تیرهای تمام تنیده، به تشریح دو مثال می پردازیم.

مثال 1:
شکل زیر، تیر یکسر گیردار AB با مقطع مخروطی توپر را نمایش می دهد. انتهای آزاد این تیر، بار P را تحمل می کند. نسبت قطر انتهای بزرگ AB به انتهای کوچک آن به صورت زیر است:

با توجه به اطلاعات مسئله، تنش خمشی σB در تکیه گاه ثابت و تنش خمشی ماکسیمم σmax را محاسبه کنید.

اگر زاویه تغییر سطح مقطع تیر کوچک باشد، مقدار تنش های به دست آمده از رابطه پیچش تفاوت چندانی با مقدار واقعی نخواهد داشت.

به عنوان یک قانون سر انگشتی به خاطر داشته باشید که با اختلاف زاویه 20 درجه ای بین خط AB و راستای طولی تیر، خطای محاسبه تنش های نرمال با استفاده از رابطه پیچش حدود 10 درصد خواهد بود. هر چه زاویه مخروط افزایش یابد، خطا نیز بیشتر می شود.

مدول مقطع:
مدول مقطع در هر یک از مقاطع عرضی تیر را می توان به صورت تابعی از فاصله x نسبت به انتهای آزاد تیر در نظر گرفت. از آنجایی که مدول مقطع به قطر وابسته است، اولین عبارت به صورت زیر نوشته می شود:

dx: قطر تیر در فاصله x از انتهای آزاد

به این ترتیب، مدول مقطع در فاصله x از انتهای آزاد تیر از رابطه زیر به دست می آید:

تنش های خمشی:
گشتاور خمشی از رابطه Px به دست می آید. از این رو، رابطه مورد نیاز برای محاسبه تنش نرمال ماکسیمم در هر یک از مقاطع عرضی تیر به صورت زیر خواهد بود:

تنش σ1 در بالای تیر به صورت کششی و در پایین آن به صورت فشاری است. توجه داشته باشید که روابط ارائه شده در این بخش برای تمام مقادیر dA و dB با تغییر زاویه کوچک قابل استفاده هستند.

تنش ماکسیمم در تکیه گاه ثابت:
تنش ماکسیمم موجود در مقطع دربرگیرنده گشتاور خمشی ماکسیمم (انتهای B) با استفاده از رابطه σ (از بخش قبلی) به دست می آید. به این منظور باید در این رابطه به جای x از L و به جای dB از 2dA استفاده کنیم. با جایگذاری این پارامترها داریم:

تنش ماکسیمم در تیر:
تنش ماکسیمم موجود در مقطعی با فاصله x از انتهای تیر با فرض dB=2dA قابل محاسبه خواهد بود:

به منظور تعیین محل رخ دادن بزرگ ترین گشتاور خمشی موجود در تیر، در ابتدا باید مقدار x به وجود آورنده بیشترین σ1 را به دست بیاوریم. با مشتق گیری از رابطه σ1 نسبت به x و برابر قرار دادن آن با صفر به معادله زیر می رسیم:

با جایگذاری x=L/2 در رابطه σ1، تنش ماکسیمم مورد نظر ما قابل محاسبه خواهد بود:

توجه داشته باشید که در این مثال به خصوص، تنش ماکسیمم در مرکز تیر رخ می دهد. به علاوه، این تنش به اندازه 19 درصد از تنش σB در انتهای ثابت تیر بیشتر است.

اگر میزان زاویه مخروطی تیر کاهش پیدا کند، محل رخ دادن تنش نرمال ماکسیمم از میانه تیر به سمت تکیه گاه ثابت آن جابجا می شود. برای تیرهای مخروطی با زاویه کوچک، تنش ماکسیمم در انتهای B رخ می دهد.

مثال 2:
شکل زیر یک تیر یکسر گیردار با طول L را نمایش می دهد که برای تحمل بار متمرکز P در انتهای آزاد خود طراحی شده است.

مقاطع عرضی تیر AB دارای شکل مستطیلی با عرض ثابت b و ارتفاع متغیر h هستند. به منظور طراحی بهتر تیر، طراحان می خواهند نحوه تغییرات ارتفاع یک تیر ایدئال را مورد بررسی قرار دهند؛ به گونه ای که تنش نرمال ماکسیمم در تمام مقطع برابر با تنش مجاز باشد.

اگر تنها گشتاور خمشی از رابطه پیچش به دست آوریم، ارتفاع تیر تمام تنیده را تعیین کنید.

گشتاور خمشی و مدول مقطع در فاصله x از انتهای آزاد تیر با استفاده از روابط زیر محاسبه می شوند:

hx: ارتفاع تیر در فاصله x

با جایگذاری عبارات بالا در رابطه پیچش خواهیم داشت:

با حل رابطه بالا نسبت به ارتفاع به رابطه زیر می رسیم:

به این ترتیب، در انتهای ثابت تیر (x=L)، ارتفاع hB برابر است با:

در نتیجه، ارتفاع hx را می توان به صورت زیر بیان کرد:

رابطه بالا نشان می دهد که تغییرات ارتفاع تیر تمام تنیده با ریشه دوم x رابطه مستقیم دارد. بنابراین، تیر ایدئال مد نظر ما در این مثال دارای شکل سهمی وار است.

توجه داشته باشید که در انتهای بارگذاری شده تیر (x=0)، ارتفاع از نظر تئوری برابر با صفر است؛ چراکه هیچ گشتاور خمشی در این نقطه وجود ندارد.

طراحی یک تیر با این شکل کاربردی نیست زیرا این تیر قابلیت تحمل نیروهای برشی در نزدیکی انتهای آزاد را نخواهد داشت.

با این اوصاف، شکل ایدئال می تواند شروع خوبی را برای یک طراحی واقع گرایانه تر فراهم کند.

در یک طراحی واقعی و کاربردی، اثرات تنش های برشی و انواع دیگر بارگذاری ها نیز در نظر گرفته می شوند.