تمرکز تنش در بارگذاری خمشی:
تمرکز تنش:
در این بخش، برای ترسیم مفهوم بصری تمرکز تنش در بارگذاری خمشی، دو حالت از تمرکز تنش موجود در تیرها را توصیف می کنیم.
حالت اول:
در حالت اول، یک تیر مستطیلی به همراه یک حفره بر روی محور خنثی آن (شکل زیر) را مورد بررسی قرار می دهیم.
ارتفاع این تیر برابر با h و ضخامت آن در راستای عمود بر صفحه برابر با b است. به علاوه، این تیر تحت خمش خالص ناشی از اعمال گشتاور خمشی M قرار دارد.
هنگامی که قطر حفره نسبت به ارتفاع تیر کوچک باشد، توزیع تنش بر روی مقطع عرضی گذرنده از حفره تقریباً مانند شکل بالا خواهد بود.
در این حالت، تنش موجود بر روی نقطه B در لبه حفره بسیار بزرگ تر از تنش موجود بر روی همان نقطه در یک سطح مقطع بدون حفره است (خط چین های شکل بالا، توزیع تنش در سطح مقطع بدون حفره را نمایش می دهند).
با دور شدن از حفره و نزدیک تر شدن به لبه تیر (نقطه A)، نمودار توزیع تنش نسبت به فاصله نقطه مورد بررسی تا محور خنثی به صورت خطی تغییر می کند. در این نواحی، تأثیر حضور حفره بر روی توزیع تنش بسیار کاهش می یابد.
در صورتی که ابعاد حفره نسبتاً بزرگ باشد، الگوی تنش تقریباً مشابه شکل زیر خواهد بود. با مقایسه این توزیع با توزیع تنش در تیر بدون حفره می توان مشاهده کرد که میزان تنش در نقطه B با یک افزایش بزرگ همراه بوده و تنش موجود در نقطه A با خط چین فاصله خیلی کمی دارد. تنش موجود در نقطه C نسبت به تنش نقطه A بیشتر اما نسبت به نقطه B کمتر است.
بررسی های گسترده نشان داده اند که تنش موجود در لبه حفره (نقطه B) تقریباً با «تنش اسمی» (Nominal Stress) همان نقطه برابر است. تنش اسمی معمولاً با استفاده از رابطه استاندارد خمش (σ=My/I) تعیین می شود. از این رو می توان از رابطه تقریبی زیر به منظور محاسبه تنش موجود در نقطه B استفاده کرد:
y: فاصله محور خنثی تا نقطه B (طول d/2 در شکل های بالا)؛ I: ممان اینرسی سطح مقطع خالص در محل وجود حفره
در لبه بیرونی تیر (نقطه C)، مقدار تنش تقریباً با تنش اسمی در نقطه A (مختصات y=h/2) برابر است:
با توجه به دو رابطه بالا، نسبت σB/σC تقریباً برابر با 2d/h خواهد بود. از این رو، زمانی که نسبت قطر حفره به ارتفاع تیر از ½ عبور کند، بیشترین تنش در نقطه B رخ می دهد. به این ترتیب اگر این نسبت از ½ کمتر باشد، بیشترین تنش به نقطه C اعمال خواهد شد.
حالت دوم:
در حالت دوم، نحوه تمرکز تنش در یک تیر مستطیلی دارای شکاف را مورد بررسی قرار می دهیم. شکل زیر، یک نمونه از تیر مذکور با ارتفاع h و ضخامت b (در راستای عمود بر صفحه) را نمایش می دهد که در معرض خمش خالص قرار دارد.
ارتفاع خالص تیر در محل شکاف (فاصله ابتدای هر شکاف) برابر با h1 و شعاع آن در ابتدای هر شکاف برابر با R است.
حداکثر تنش اعمال شده بر این تیر در ابتدای هر شکاف رخ می دهد. مقدار تنش در این نقطه می تواند بسیار بیشتر از تنش اسمی محاسبه شده از رابطه خمش در همان نقطه باشد (y=h1/2 و I=bh3/12):
تنش ماکسیمم با حاصل ضرب ضریب تمرکز تنش K در تنش اسمی برابر است:
ضریب تمرکز تنش در شکل بالا برای برخی از مقادیر h/h1 رسم شده است. توجه داشته باشید که با تیزتر شدن لبه های شکاف (کوچک تر شدن نسبت R/h1)، ضریب تمرکز تنش افزایش می یابد. اثرات تمرکز تنش به نواحی کوچک در اطراف حفره ها و شکاف s محدود می شود.
بر اساس اصل سنت-ونانت، اگر فاصله نقطه مورد بررسی تا حفره درون تیر برابر یا بزرگ تر از h (ارتفاع مقطع) باشد، تأثیر تمرکز قابل چشم پوشی خواهد بود. در این حالت می توان از روابط کلی برای تحلیل تنش در آن نقطه استفاده کرد.
در ادامه، به منظور آشنایی بهتر با نحوه تحلیل تمرکز تنش در تیرهای تحت پیچش، به تشریح کامل یک مثال می پردازیم.
مثال:
شکل زیر، یک تیر ساده با سطح مقطع مستطیلی (ابعاد b در h) نمایش می دهد که یک حفره با قطر d در مرکز طولی آن به همراه دو شکاف با فاصله ای برابر در دو طرف حفره وجود دارد. بارهای P در فاصله L/5 از دو انتهای تیر AB اعمال می شوند.
با فرض فاصله L=4.5m، ضخامت تیر b=50mm، ارتفاع تیر h=144mm، فاصله بین شکاف ها h1=120mm، قطر حفره d=85mm، شعاع شکاف ها R=10mm و تنش خمشی مجاز σa=150MPa، موارد زیر را تعیین کنید:
الف) حداکثر مقدار مجاز P:
بخش مرکزی تیر در محدوده بین بارهای P (از x=L/5 تا x=4L/5)تحت خمش خالص قرار دارد و گشتاور ماکسیمم در این ناحیه برابر M=PL/5 است. برای تعیین Pmax، باید تنش خمشی ماکسیمم (در بخش میانی اطراف حفره و در محل قرارگیری شکافs) را با تنش مجاز σa=150MPa مقایسه کنیم.
به این منظور، ابتدا به بررسی تنش های ماکسیمم موجود در اطراف حفره می پردازیم. نسبت قطر حفره به ارتفاع تیر d/h=88/144=0.59 است.
به دلیل عبور این نسبت از مقدار ½، تنش موجود در نقطه B در مقایسه با تنش موجود در نقطه C بیشتر خواهد بود. با جایگذاری σa به جای σB و PL/5 به جای M، رابطه مورد نیاز برای محاسبه Pmax به دست می آید:
به این ترتیب، با استفاده از مقادیر عددی خواهیم داشت:
در مرحله بعد به منظور تعیین مقدار دوم Pmax، تنش های حداکثری موجود در ابتدای هر دو شکاف را مورد بررسی قرار می دهیم. نسبت شعاع شکاف ها به فاصله آن ها (R/h1) برابر با 0.083، نسبت ارتفاع تیر به ارتفاع شکاف ها (h/h1) برابر با 1.2 و ضریب تمرکز تنش K تقریباً برابر با 2.3 است.
با توجه به روابط ارائه شده برای ضریب تمرکز تنش داریم:
به این ترتیب:
با مقایسه Pmax1 و Pmax2 می توان مشاهده کرد که تنش حداکثری موجود در ابتدای شکاف ها، عامل کنترل کننده حداکثر مقدار مجاز برای اعمال بار اعمال شده است:
ب) کوچک ترین شعاع قابل قبول برای شکاف ها:
توجه داشته باشید در نمودار بالا، ضریب تمرکز تنش با کاهش نسبت R به h1 افزایش می یابد. با استفاده از رابطه تنش اسمی داریم:
به منظور تعیین ضریب تمرکز تنش، تنش خمشی ماکسیمم σmax را برابر تنش مجاز σa قرار می دهیم:
در نمودار زیر، با در نظر داشتن h/h1=1.2 و K=1.82 داریم:
ج) حداکثر قطر قابل قبول برای حفره:
برای حل این بخش از مثال، ابتدا فرض می کنیم که d/h>1/2 بوده و تنش خمشی ماکسیمم در نقطه B رخ می دهد.
به این ترتیب می توانیم از رابطه σB برای تعیین dmax کنیم. اگر d/h کوچک تر از ½ باشد، تنش خمشی ماکسیمم در نقطه C رخ خواهد داد. در این صورت، از رابطه σC برای تعیین این تنش کمک می گیریم. در صورت اعمال تنش حداکثری در نقطه B خواهیم داشت:
با قرار دادن مقادیر عددی در رابطه بالا، حداکثر قطر قابل قبول حفره برابر خواهد بود با:
از آنجایی که dmax/h=0.752، فرض اولیه ما مبنی بر رخ دادن تنش حداکثری در نقطه B تأیید می شود. در صورت عدم تأیید این فرض باید محاسبات بالا را بر حسب رابطه σC تکرار می کردیم.
|
|
|
|
| نماد اعتماد الکترونیک | نشان ملی ثبت | گواهی شامد ارشاد |
© کلیه حقوق مادی و معنوی این وب سایت متعلق به داده پردازان هومان پویان می باشد.
