مرکز برش و کاربرد آن در تحلیل تیرها

مرکز برش و کاربرد آن در تحلیل تیرها:

مرکز برش در سطح مقطع متقارن:
تیر یکسر گیردار زیر که انتهای آزاد آن تحت بار P قرار دارد را در نظر بگیرید. این تیر تنها دارای یک محور تقارن است.

به تیرهایی که سطح مقطع آن ها مشابه شکل زیر باشد، «تیر I نامتوازن» (Unbalanced I-Beam) گفته می شود.

تیرهای I شکل (متوازن یا نامتوازن) معمولاً در صفحه تقارن خود (صفحه xz) تحت بار قرار می گیرند اما در مثال زیر، خط اثر نیروی P بر صفحه مذکور عمود است.

به دلیل قرارگیری مبدأ مختصات بر روی مرکز هندسی سطح مقطع و همچنین در نظر گرفتن محور z به عنوان محور تقارن، محورهای y و z به عنوان محورهای اصلی گذرنده از مرکز هندسی (محورهای اصلی مرکزی) محسوب می شوند.

فرض کنید که تیر بالا در اثر اعمال بار P خم شود. در صورت خنثی بودن صفحه xz، خمش بر روی آن رخ می دهد. به این ترتیب، دو برآیند تنش در مقطع میانی تیر به وجود می آید.

اولین برآیند، گشتاور خمشی M0 است که حول محور z و در جهت منفی این محور اعمال می شود. دومین برآیند، نیروی برشی P است که در جهت منفی محور y عمل می کند. در یک تیر که تحت بارگذاری مشخص قرار دارد، کمیت های M0 و P معلوم هستند.

برآیند تنش های نرمال اعمال شده بر روی سطح مقطع برابر گشتاور خمشی M0 و برآیند تنش های برشی برابر نیروی برشی P است.

اگر رفتار ماده سازنده تیر از قانون هوک پیروی کند، رابطه بین تغییرات تنش های نرمال با فاصله نقطه مورد نظر تا محور خنثی (محور z) به صورت خطی خواهد بود. در این حالت می توان مقدار تنش های نرمال را با استفاده از رابطه خمش تعیین کرد.

از آنجایی که محاسبه تنش های برشی اعمال شده بر سطح مقطع بر اساس فرضیات تعادل و با استفاده از مقادیر تنش های نرمال صورت می گیرد، توزیع این تنش ها بر روی سطح مقطع نیز به همین صورت قابل تعیین خواهد بود.

برآیند تنش های برشی به صورت یک نیروی عمودی است. مقدار این نیرو با مقدار نیروی P برابر بوده و خط اثر آن از نقطه ای بر روی محور z عبور می کند (نقطه S در شکل زیر). این نقطه با عنوان مرکز برش یا «مرکز خمش» (Center of Flexure) شناخته می شود.

به طور خلاصه، با در نظر گرفتن محور z به عنوان محور خنثی، علاوه بر توزیع تنش های نرمال، امکان تعیین توزیع تنش های برشی و موقعیت قرارگیری برآیند نیروی برشی نیز فراهم می شود. به این ترتیب، برای رخ دادن خمش در این حالت، بار اعمال شده P بر انتهای آزاد تیر باید از یک نقطه به خصوص (مرکز برش) عبور کند.

اگر بار در نقطه دیگری بر روی محور z (مثلاً نقطه A) اعمال شده باشد، می توان آن را با یک مجموعه استاتیکی معادل شامل یک نیروی گذرنده از مرکز برش (P) و یک گشتاور (T) جایگزین کرد (شکل زیر).

در این شرایط، نیروی P باعث ایجاد خمش حول محور z و گشتاور T باعث ایجاد پیچش می شود. در نتیجه، اگر یک بار جانبی بر روی یک تیر اعمال شود و از مرکز برش آن عبور کند، خمش بدون پیچش رخ می دهد.

مرکز برش نیز مانند مرکز هندسی، بر روی محور تقارن قرار دارد. به همین دلیل در یک سطح مقطع با تقارن مضاعف (شکل زیر)، مرکز برش S و مرکز هندسی C بر روی یکدیگر قرار می گیرند.

در این حالت، بار P گذرنده از مرکز هندسی باعث ایجاد خمش بدون پیچش حول محورهای y و z می شود. نحوه تعیین تنش های خمشی ناشی از اعمال این بار در مبحث «تحلیل تیرهای دارای تقارن مضاعف» توضیح داده شده است.

اگر یک تیر دارای سطح مقطعی با تقارن منفرد باشد، مرکز هندسی و مرکز برش آن بر روی محور تقارن قرار خواهند داشت.

در این حالت می توان بار گذرنده از مرکز برش را به دو مؤلفه در راستای محورهای y و z تجزیه کرد. با در نظر گرفتن محور z به عنوان محور خنثی، مؤلفه هم راستا با محور y باعث ایجاد خمش در صفحه xy می شود.

با در نظر گرفتن محور y به عنوان محور خنثی، مؤلفه هم راستا با محور z باعث ایجاد خمش بدون پیچش در صفحه xz می شود. مقدار تنش های خمشی حاصل از این مؤلفه ها، با کمک برهم نهی تنش های حاصل از بار اصلی به دست می آید.

مرکز برش در سطح مقطع نامتقارن:
در صورتی که یک تیر دارای سطح مقطع نامتقارن باشد و بار اعمال شده بر آن از مرکز برش گذر کند، فرآیند تحلیل خمش تیر دارای سه مرحله کلی خواهد بود. در مرحله اول، محل قرارگیری مرکز هندسی سطح مقطع (نقطه C) و نحوه جهت گیری محورهای اصلی گذرنده از آن (محورهای اصلی مرکزی y و z) را تعیین می کنیم.

سپس، با تجزیه بار به مؤلفه های هم راستا با محورهای y و z، گشتاورهای خمشی My و Mz حول محورهای اصلی را به دست می آوریم. در مرحله آخر، با استفاده از روش ارائه شده در مبحث «تحلیل خمش در تیرهای نامتقارن»، مقدار تنش های خمشی را مورد محاسبه قرار می دهیم.

در این مقاله با اهمیت مرکز برش در تحلیل تیرها آشنا شدیم. مسئله مهم دیگر در مبحث مرکز برش، نحوه تعیین محل قرارگیری آن است. برای تیرهای دارای تقارن مضاعف، مرکز برش بر روی مرکز هندسی سطح مقطع قرار دارد.

در تیرهای دارای تقارن منفرد، این مرکز بر روی محور تقارن قرار می گیرد اما تعیین محل دقیق آن نیاز به تحلیل دارد.

اگر سطح مقطع تیر نامتقارن باشد، پیچیدگی مراحل تعیین محل قرارگیری مرکز برش افزایش می یابد. در این مورد، باید از روش های پیشرفته تری استفاده کرد.

در مبحث تعیین محل قرارگیری مرکز برش، تیرهای جدار نازک با سطح مقطع باز نظیر تیرهای بال پهن، ناودانی ها، نبشی ها، تیرهای T و مقاطع Z، حالت های خاص به شمار می روند.

این تیرها کاربرد بسیار زیادی در ساخت سازه های مختلف و همچنین مقاومت بسیار کمی در برابر پیچش دارند.

به همین دلیل، تعیین موقعیت مرکز برش در آن ها از اهمیت ویژه ای برخوردار است. در مباحث بعدی، به ارائه نحوه تعیین مرکز برش در تیرهای مذکور خواهیم پرداخت.