تعیین تنش برشی در تیرهای جدار نازک با مقطع باز

تعیین تنش برشی در تیرهای جدار نازک با مقطع باز:

در مباحث قبلی، توزیع تنش های برشی در تیرهای مستطیلی، دایره ای و جان تیرها را مورد تحلیل قرار دادیم و رابطه برش برای تعیین تنش های موجود در تیرهای مذکور را مطابق زیر به دست آوردیم:

V: نیروی برشی اعمال شده بر سطح مقطع؛ I: ممان اینرسی سطح مقطع حول محور خنثی؛ b: عرض تیر در محل مورد تحلیل؛ Q: ممان اول سطح بیرونی محل تعیین تنش

در این مقاله قصد داریم تنش های برشی موجود در «تیرهای جدار نازک با مقطع باز» (Thin-walled Open-section Beams) را مورد بررسی قرار دهیم. تیرهای جدار نازک با مقطع باز دارای دو ویژگی متمایز هستند:

• الف) ضخامت جدار تیر نسبت به ارتفاع و عرض سطح مقطع آن کوچک است.
• ب) سطح مقطع تیر باز است (مانند تیرهای I شکل یا ناودانی).

شکل زیر، چند نمونه از تیرهای جدار نازک با مقطع باز را نمایش می دهد. این نوع تیرها با عناوینی نظیر تیرهای دارای «مقطع سازه ای» (Structural Section) یا «مقطع نیمرخ» نیز گفته می شود.

فرآیند تحلیل:
به منظور تعیین تنش های برشی موجود در تیرهای جدار نازک باز می توانیم از روشی مشابه با فرآیند تعیین رابطه برش استفاده کنیم.

برای شروع، تیری را زیر در نظر بگیرید که محور سطح مقطع آن همانند شکل زیر دارای یک شکل نامنظم است.

محورهای y و z، محورهای اصلی گذرنده از مرکز هندسی سطح مقطع (محورهای اصلی مرکزی) هستند.

بار P نیز در جهت موازی با محور y اعمال می شود و از مرکز برش S عبور می کند. به این ترتیب، خمش در صفحه xy رخ می دهد و محور z به عنوان محور خنثی در نظر گرفته می شود.

تحت شرایط بالا، تنش نرمال اعمال شده بر هر نقطه دلخواه در تیر با استفاده از رابطه خمش به دست می آید:

Mz: گشتاور خمشی حول محور z و y: مختصات نقطه مورد نظر

اکنون المان حجم abcd بین دو مقطع با فاصله dx از یکدیگر را در نظر بگیرید. توجه داشته باشید که این المان از لبه سطح مقطع شروع می شود. به علاوه، طول آن در امتداد محور mm برابر با s است.

به منظور تعیین تنش های برشی، المان abcd را به تنهایی در نظر بگیرید (شکل زیر). نیروی F1، برآیند تنش های نرمال اعمال شده بر صفحه ad و نیروی F2، برآیند تنش های نرمال اعمال شده بر صفحه bc است.

به دلیل بزرگ تر بودن تنش های موجود بر روی bc (بزرگ تر بودن گشتاور خمشی)، نیروی F1 بیشتر از F2 خواهد بود.

بنابراین، برای قرارگیری المان در حالت تعادل، تنش های برشی τ باید در راستای صفحه cd اعمال شوند. این تنش های برشی به صورت موازی با سطوح بالایی و پایینی المان و به همراه تنش های مکمل موجود بر روی سطوح ad و bc اعمال می شوند.

برای ارزیابی تنش های برشی مذکور باید نیروهای موجود در راستای x المان را با هم جمع کنیم:

t: ضخامت سطح مقطع در سطح cd المان یا ضخامت سطح مقطع در فاصله s از لبه آزاد المان

در مرحله بعد، رابطه مورد نیاز برای تعیین نیروی F1 را به دست می آوریم:

dA: یک المان سطح بر روی سطح ad المان؛ y: مختصات المان dA؛ و Mz1: گشتاور خمشی موجود در سطح مقطع

برای تعیین نیروی F2 نیز از یک رابطه مشابه استفاده می کنیم:

با جایگذاری این روابط در τtdx=F1-F2، به معادله زیر می رسیم:

کمیت (Mz2-Mz1)/dx، نرخ تغییرات dM/dx (تغییرات گشتاور خمشی بر واحد طول) را نمایش می دهد و با نیروی برشی اعمال شده بر سطح مقطع برابر است:

نیروی برشی Vy با محور y موازی بوده و در جهت منفی این محور (جهت اعمال بار P) دارای علامت مثبت است.

نحوه علامت گذاری در اینجا با قواعد علامت گذاری معرفی شده در مبحث «نیروی برشی و گشتاور خمشی در تیرها» مطابقت دارد. با جایگذاری رابطه بالا در رابطه قبلی، به معادله نیروی برشی τ می رسیم:

با کمک این معادله می توانیم تنش های برشی موجود در هر نقطه دلخواه بر روی سطح مقطع در فاصله s از لبه آزاد تیر را محاسبه کنیم.

انتگرال موجود در این معادله، گشتاور اول سطح نسبت به محور z (محور خنثی) در فاصله s=0 تا s=s را نمایش می دهد. اگر این انتگرال را با Qz نشان دهیم و معادله بالا را بازنویسی کنیم، فرم ساده تری از معادله تنش های برشی به دست می آید که معادلِ فرم استاندار رابطه برش است.

تنش های برشی بر روی محور سطح مقطع قرار می گیرند و موازی با لبه های آن عمل می کنند. شدت این تنش ها بر روی ضخامت جدار تیر ثابت در نظر گرفته می شوند. این فرض در صورت کوچک بودن ضخامت تیر کوچک معتبر خواهد بود.

توجه داشته باشید که ضخامت جدار لزوماً ثابت نیست و امکان تغییر آن به صورت تابعی از فاصله s وجود دارد.

جریان برش موجود در هر نقطه دلخواه بر روی سطح مقطع با حاصل ضرب تنش برشی در ضخامت در آن نقطه برابر است:

به دلیل ثابت بودن کمیت های Vy و Iz، جریان برش با Qz رابطه مستقیم دارد. در بالا و پایین لبه های سطح مقطع، Qz برابر صفر است.

از این رو، جریان برش نیز در این نواحی برابر با صفر خواهد بود. مقدار جریان برش به طور پیوسته بین مقدار صفر (در نقاط انتهایی) و مقدار ماکسیمم (محل رخ دادن Qz ماکسیمم در محور خنثی) تغییر می کند. اکنون فرض کنید که تیر نمایش داده شده در شکل زیر توسط بارهای موازی با محور z و گذرنده از مرکز برش تحت خمش قرار گرفته است.

بنابراین، تیر در صفحه xz خم شده و محور y به عنوان محور خنثی در نظر گرفته می شود.

در این حالت، با تکرار مراحل توضیح داده شده در حالت قبلی به معادلات تنش های برشی و جریان برش می رسیم:

Vz: نیروی برشی موازی با محور z؛ و Qy: گشتاور اول سطح نسبت به محور y

در این مقاله، روابط مورد نیاز برای تعیین تنش های برشی موجود در تیرهای جدار نازک باز با شرط گذر نیروی برشی از مرکز برش و موازی بودن آن با یکی از محورهای اصلی به دست آمدند.

اگر بین نیروی برشی و محورهای y و z زاویه ای وجود داشته باشد؛ در صورت عبور نیروی برشی از مرکز برش می توان آن را به مؤلفه های موازی با محورهای اصلی تجزیه کرد، هر یک از این مؤلفه ها را جداگانه مورد تحلیل قرار داد و در نهایت، برآیند تنش های برشی مورد نظر را با استفاده از برهم نهی مؤلفه های تنش به دست آورد.