تعربف گشتاور پلاستیک و محور خنثی

تعربف گشتاور پلاستیک و محور خنثی:
هنگامی که گشتاور خمشی از گشتاور تسلیم MY بیشتر می شود، کرنش درون تیر همچنان افزایش می یابد و مقدار حداکثری آن به کرنش تسلیم εY می رسد.

اگرچه به دلیل رخ دادن تسلیم پلاستیک کامل، مقدار تنش ماکسیمم ثابت و برابر σY باقی می ماند (شکل زیر). توجه داشته باشید که در این حالت، نواحی خارجی تیر به صورت کاملاً پلاستیک و در مقابل هسته مرکزی آن (هسته الاستیک) به صورت الاستیک خطی باقی می ماند.

اگر محور تقارن سطح مقطع بر روی محور z منطبق نباشد، هنگام عبور گشتاور از نقطه تسلیم، محور خنثی از مرکز هندسی سطح مقطع دور می شود.

جابه جایی محور خنثی برای مقطع ذوزنقه ای بزرگ نبوده و به اندازه ای کوچک است که در شکل آن مشاهده نمی شود.

در مقاطع دارای تقارن مضاعف، محور خنثی در هنگام عبور گشتاور از نقطه تسلیم نیز از مرکز هندسی سطح مقطع عبور می کند.

با افزایش بیشتر گشتاور خمشی، ناحیه پلاستیک بزرگ تر و به محور خنثی نزدیک تر می شود.

این تغییرات تا رسیدن به حالت نمایش داده شده در شکل زیر ادامه می یابند.

در این مرحله، حداکثر کرنش موجود در تیر (در دورترین فاصله از محور خنثی) حدود 10 تا 15 برابر کرنش تسلیم εY و هسته الاستیک تقریباً محو می شود.

به این ترتیب، ظرفیت تیر برای مقاومت در برابر گشتاور به مقدار نهایی می رسد و وضعیت نهایی توزیع تنش (توزیع تنش ایده آل) به شکل دو مستطیل در می آید (شکل زیر).

گشتاور خمشی متناظر با این توزیع تنش با عنوان «گشتاور پلاستیک» (Plastic Moment) شناخته شده و با علامت MP نمایش داده می شود. این گشتاور بیانگر حداکثر گشتاوری است که یک تیر الاستوپلاستیک می تواند تحمل کند.

برای محاسبه گشتاور پلاستیک MP، ابتدا باید مختصات محور خنثی سطح مقطع تیر را تحت شرایط کاملاً پلاستیک تعیین کرد. به این منظور، سطح مقطع نمایش داده شده در شکل زیر را با فرض انطباق محور خنثی بر روی محور z در نظر بگیرید.

محل قرارگیری محور خنثی

تمام نقاط موجود در بالای محور خنثی تحت تنش فشاری σY و تمام نقاط زیر این محور تحت تنش کششی σY قرار دارند (شکل زیر). برآیند نیروی فشاری C برابر با حاصل ضرب σY در مساحت سطح مقطع A1 (بالای محور خنثی) و برآیند نیروی کشش T برابر با حاصل ضرب σY در مساحت سطح مقطع A2 (پایین محور خنثی) است.

تعیین گشتاور پلاستیک MP تحت شرایط پلاستیک کامل

به دلیل صفر بودن نیروی برآیند اعمال شده بر روی سطح مقطع، خواهیم داشت:

مساحت کل سطح مقطع A از حاصل جمع A1 و A2 به دست می آید. بنابراین:

از این رو در شرایط کاملاً پلاستیک، محور خنثی سطح مقطع را به دو ناحیه برابر تقسیم می کند. به همین دلیل، امکان متفاوت بودن محل قرارگیری محور خنثی برای گشتاور پلاستیک MP با خمش الاستیک خطی وجود دارد.

به عنوان مثال، در مقاطع ذوزنقه ای که عرض سطح مقطع بخش بالایی کمتر از بخش پایینی است؛ محور خنثی در حالت خمش کاملاً پلاستیک کمی پایین تر از محور خنثی در حالت خمش الاستیک خطی خواهد بود.

به دلیل برابر بودن گشتاور پلاستیک MP با برآیند گشتاور تنش های اعمال شده بر سطح مقطع، مقدار MP از انتگرال بر روی سطح A تعیین می شود:

y: مختصات المان سطح dA (با فرض مثبت بودن جهت رو به بالا)؛ y-1 و y-2؛ فاصله محور خنثی تا مراکز هندسی سطوح A1 و A2 (نقاط c1 و c2)

روش ساده تر محاسبه گشتاور پلاستیک، استفاده از گشتاور نیروهای C و T حول محور خنثی است:

با جایگذاری روابط C و T داریم:

این رابطه همان رابطه حاصل از انتگرال گیری بر روی سطح A است.

فرآیند اصلی محاسبه گشتاور پلاستیک شامل تقسیم سطح مقطع تیر به دو ناحیه مساوی، تعیین محل قرارگیری مرکز هندسی هر یک از نواحی و استفاده از رابطه بالا می شود.