معادله لاگرانژ و کاربرد آن در دینامیک

معادله لاگرانژ چیست و چه کاربردی در دینامیک سازه دارد؟
معادلات حرکت برای یک سیستم چند درجه آزادی را می توان به طور مستقیم توسط معادله همیلتون و با نوشتن رابطه انرژی جنبشی کل T، انرژی پتانسیل کل V و کار مجازی کل Wnc در قالب مجموعه ای از مختصات تعمیم یافته q1 تا qn به دست آورد.

برای اکثر سیستم های مکانیکی یا سازه ای، انرژی جنبشی، بر حسب مختصات تعمیم یافته به همراه مشتق مرتبه اول آن ها و انرژی پتانسیل، فقط بر حسب مختصات تعمیم یافته قابل تعریف است.

علاوه بر این، کار مجازی صورت گرفته توسط نیروهای ناپایستار اعمال شده بر روی جابه جایی های مجازی ناشی از تغییرات فرضی در مختصات تعمیم یافته نیز به صورت تابع خطی آن تغییرات بیان می شود.

اگر بخواهیم جملات این پاراگراف را به صورت ریاضی بیان کنیم، خواهیم داشت:

Q1 تا QN: توابع نیروی تعمیم یافته مرتبط با مختصات q1 تا qN

با انتگرال گیری از معادلات بالا نسبت به t در بازه t0 تا t1، خواهیم داشت:

از انتگرال گیری عبارت های دارای سرعت در رابطه بالا به رابطه زیر می رسیم:

عبارت سمت راست در رابطه بالا برای تمام مختصات ها برابر صفر خواهد بود؛ چراکه δqi(t0)=δqi(t1)=0، شرط اولیه متغیرها است. با جایگذاری این رابطه در رابطه قبلی و مرتب کردن عبارت ها خواهیم داشت:

از آنجایی که تمام متغیرهای δqi (از i=1 تا i=N) به صورت فرضی هستند، رابطه بالا تنها در حالت زیر برای شرایط کلی معتبر خواهد بود:

رابطه بالا با عنوان معادلات حرکت لاگرانژ شناخته می شود. این معادلات کاربرد گسترده ای در حوزه های مختلف مهندسی و علوم پایه دارد.

به طور کلی، معادلات حرکت با استفاده از روش لاگرانژ طی چهار مرحله زیر به دست می آیند:

• تشخیص سیستم و اشیا موجود در آن، تعیین درجه آزادی و انتخاب مجموعه مختصات تعمیم یافته مناسب.
• تعیین انرژی جنبشی و پتانسیل سیستم.
• یافتن نیروهای ناپایستار موجود در سیستم.
• به دست آوردن معادلات حرکت با جایگزینی مقادیر به دست آمده از مراحل قبل در معادلات لاگرانژ و ساده سازی روابط.