کاربرد معادله حرکت در تحلیل دینامیک سازه چیست؟
هدف از تحلیل دینامیک سازه، تعیین تاریخچه زمانی جابه جایی برای سازه هایی است که بارهای اعمال شده بر آن ها در طول زمان تغییر می کند.
در اغلب موارد، اجرای تحلیل های تقریبی با چند درجه آزادی می تواند دقت کافی را به همراه داشته باشد. بنابراین، می توان با ساده سازی مسئله، تاریخچه های زمانی مولفه های در نظر گرفته شده را تعیین کرد.
روابط ریاضی تعیین کننده جابه جایی های دینامیک، با عنوان معادلات حرکت سازه شناخته می شوند. حل این معادلات، تاریخچه های زمانی مورد نیاز برای تحلیل دینامیک سازه را فراهم می کند.
نوشتن معادله حرکت برای یک سیستم دینامیک، مهم ترین و گاهی اوقات دشوارترین مرحله تحلیل دینامیک سازه است. در ادامه، به معرفی روش های تعیین معادلات حرکت برای سیستم های دینامیک می پردازیم.
اصل دالامبر چیست و چه کاربردی در دینامیک سازه دارد؟
«اصل دالامبر» (D’Alembert’s Principle) یا اصل تعادل دینامیکی، فرم دیگر قانون دوم نیوتون است. در واقع این اصل، مسائل دینامیکی را به مسائل استاتیکی تبدیل می کند. بر اساس قانون دوم نیوتون، نیروی اعمال شده به یک جسم از حاصل ضرب جرم (m) در شتاب (¨u) به دست می آید:
F=m¨u
رابطه بالا را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد:
F−m¨u=0
به عبارت دیگر، جرم بین اعمال نیروی واقعی (F) و نیروی فرضی (−m¨u) در تعادل است. نیروی فرضی در معادله تعادل بالا با عنوان نیروی اینرسی یا «نیروی موثر بازگشتی» (Reversed Effective Force) شناخته می شود.
اصل دالامبر، ابزار بسیار ساده ای برای حل مسائل دینامیک سازه است. این اصل، امکان بازنویسی معادلات حرکت به صورت معادلات تعادل دینامیکی را فراهم می کند.
نیروی F می تواند به شکل انواع مختلفی از نیروهای اعمال شده بر جسم، مانند محدودیت های الاستیکی (مقاومت در برابر جابه جایی)، نیروهای ویسکوز (مقاومت در برابر حرکت) و نیروهای مستقل خارجی در معادله حرکت ظاهر شود.
با این وجود، در صورت وجو نیروی اینرسی (نیروی مقاوم در برابر شتاب)، معادله حرکت به خوبی بیانگر تعادل تمام نیروهای اعمال شده بر جرم نخواهد بود. به همین دلیل، اصل دالامبر، فقط برای مسائل ساده گزینه مناسبی است.
اصل کار مجازی چیست و چه کاربردی در دینامیک سازه دارد؟
اگر سازه مورد تحلیل، دارای یک سیستم پیچیده و از چند نقطه جرمی یا چند جسم با ابعاد مشخص ساخته شده باشد، نوشتن معادلات تعادل تمام نیروهای اعمال شده بر آن دشوار خواهد بود.
البته در بسیاری از موارد، امکان نوشتن معادلات نیروی های مختلف بر اساس درجه آزادی وجود دارد اما رابطه بین معادلات تعادل این نیروها مبهم است. در این حالت می توان از اصل کار مجازی به منظور تعیین معادلات حرکت استفاده کرد.
برای درک اصل کار مجازی، سیستمی از ذرات را در نظر بگیرید که تحت مجموعه ای از نیروهای خارجی در حالت تعادل قرار دارد. در صورتی که این سیستم در معرض هر نوع جابه جایی مجازی (جابه جایی مطابق با محدودیت های سیستم) قرار بگیرد، کار انجام شده توسط مجموعه نیروها صفر خواهد بود:
در رابطه بالا:
مطابق این اصل، از بین رفتن کار انجام شده حین جابه جایی مجازی مشابه مفهوم تعادل است. به این ترتیب، برای تعیین معادلات عکس العمل یک سیستم دینامیک، ابتدا باید تمام نیروهای اعمال شده بر ذرات سیستم را مشخص کرد.
سپس، با اضافه کردن جابه جایی مجازی متناسب با درجه آزادی و برابر قرار دادن کار انجام شده با صفر، معادلات حرکت به دست می آید.
مزیت اصل جابه جایی مجازی این است که مولفه های موجود در کار مجازی به صورت کمیت های اسکالر نوشته می شوند و می توان آن ها را به صورت عددی به معادله اضافه کرد؛ در صورتی که نیروهای اعمال شده بر روی سازه ماهیت برداری دارند.
مقایسه روش های تعیین معادله حرکت برای سیستم های دینامیک:
در بخش های قبلی، چهار روش اصلی تعیین معادله حرکت برای سیستم های دینامیک را معرفی کردیم.
روش تعادل مستقیم (اصل دالامبر)، یک روش ساده و بصری برای تعیین معادله حرکت است که به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرد. مهم تر از همه، این روش مفهوم تعادل دینامکی را بیان می کند.
روش تعیین معادلات تعادل در تحلیل استاتیکی سازه، به طور مستقیم برای مسائل دینامیکی تعمیم یافته است.
در صورت توزیع گسترده جرم و الاستیسته درون سازه، استفاده از روش تعادل دینامیکی به منظور تعیین معادله حرکت دشوار خواهد بود.
در این شرایط، به کارگیری اصل جابه جایی مجازی (کار مجازی) گزینه مناسب تری است. در این اصل، به جای پارامترهای برداری از پارامترهای اسکالر برای تعیین معادله حرکت استفاده می شود.
اصل همیلتون نیز یکی دیگر از اصول تعیین معادله حرکت با استفاده از پارامترهای اسکالر است. در قضیه کار و انرژی، اگر از کار انجام شده توسط نیروهای ناپایستار (نیروی میرایی) صرفنظر شود، تمام محاسبات به صورت اسکالر خواهد بود.
استفاده از معادله لاگرانژ به منظور تعیین معادله حرکت، نسبت به دو روش قبلی متداول تر است. این روش شباهت زیادی به اصل همیلتون دارد.
نیروی میرایی مورد استفاده در معادله لاگرانژ، توسط آزمایش های تجربی به دست می آید (مبنای محاسبه آن، صرفا تحلیل ریاضی و مکانیکی مواد و عضوهای سازه نیست).
منشا اصلی میرایی مکانیکی محیط پیوسته، عمدتا خود محیط بوده و با میرایی دینامیکی سازه متفاوت است.
منبع میرایی سازه، پیچیدگی زیادی دارد و به سادگی قابل تعریف نیست. با این وجود، مقدار ضریب تجربی آن را می توان با استفاده از اندازه گیری های آزمایشگاهی یا تجربی به دست آورد.
|
|
|
|
| نماد اعتماد الکترونیک | نشان ملی ثبت | گواهی شامد ارشاد |
© کلیه حقوق مادی و معنوی این وب سایت متعلق به داده پردازان هومان پویان می باشد.
