خط تأثیر لنگر خمشی تیر نامعین استاتیکی

تیر نامعین نمایش داده شده در تصویر زیر را در نظر بگیرید. برای رسم خط تأثیر لنگر خمشی در نقطه E، باید یک مفصل را در نقطه E در نظر بگیریم.

این مفصل، هیچ مقاومتی را در برابر نیروهای برشی و محوری از خود نشان نمی دهد.

در صورت اعمال لنگر خمشی واحد و مثبت بر روی E، تیر مشابه خط چین های نمایش داده شده در تصویر زیر جابجا خواهد شد. این جابه جایی، با یک نسبت مشخص مشابه با خط تأثیر است.

در مجموع، روش مولر-برسلاو، ابزار کمی و کیفی خوبی را برای ترسیم سریع خط تأثیر سازه های نامعین استاتیکی فراهم می کند.

خط تأثیر از مهم ترین ابزارهای تحلیل سازه های عمرانی است. مهندسان سازه با نحوه ترسیم خطوط تأثیر نیروی برشی، لنگر خمشی، عکس العمل و دیگر پارامترهای بارگذاری برای نقاط مختلف تیر، شاه تیر، خرپا و دیگر المان های باربر آشنا باشند.

در مقطع کارشناسی رشته مهندسی عمران، مفاهیم خط تأثیر و تحلیل سازه ها، طی دروسی با عنوان های تحلیل سازه های 1 و تحلیل سازه های 2 یا پیشرفته آموزش داده می شود.

مثال رسم خط تأثیر با استفاده از روش مولر-برسلاو:
تیر ساده زیر را در نظر بگیرید. در نقطه C و فاصله x از تکیه گاه A، یک واحد نیرو به این تیر اعمال شده است.

فرض می کنیم این نیرو باعث ایجاد عکس العمل های RA و RB، به ترتیب در تکیه های A و B می شود. این شرایط را با عنوان «سیستم شماره 1» در نظر می گیریم.

خط چین رسم شده در این سیستم، شکل جابه جایی تیر را نمایش می دهد.

اکنون، قید تکیه گاه A را از درون سیستم حذف می کنیم و به جای آن یک جابه جایی واحد مجازی در نظر می گیریم. به این ترتیب، «سیستم شماره 2» با شرایط نمایش داده شده در تصویر بالا به وجود می آید.

خط چین رسم شده در این سیستم، همان تیر قبلی با جابه جای ناشی از اعمال عکس العمل RA است.

بر اساس قضیه کار مجازی، کار انجام شده توسط نیروها در سیستم شماره 1 با توجه به جابه جایی های سیستم شماره 2 باید با کار انجام شده توسط نیروها در سیستم شماره 2 با توجه به جابه جایی های سیستم شماره 1 برابر باشد. به این ترتیب، برای این دو سیستم می توان نوشت:

• (RA)(1)+(1)(-Δ)=0.

سمت راست معادله بالا برابر با صفر است؛ چراکه هیچ جابه جایی معادلی برای نیروی عکس العمل RB وجود ندارد. علامت منفی پشت Δ، جابه جایی در خلاف جهت نیروی اعمال شده را نمایش می دهد. با حل معادله بالا خواهیم داشت:

• RA=Δ.

به عبارت دیگر، عکس العمل تکیه گاه A به دلیل بار اعمال شده بر نقطه C، با جابه جایی نقطه C هنگام اعمال یک واحد جابه جایی به سازه در جهت عکس العمل تکیه گاه A برابر است.

با استفاده از این روش می توان بار واحد را در نقاط دیگر اعمال کرد و عکس العمل تکیه گاهی ناشی از اعمال آن بار در سیستم شماره 2 را به دست آورد. بنابراین، الگوی جابه جایی تیر در سیستم شماره 2، همان خط تأثیر RA را نمایش می دهد.

با تکرار مراحل بالا، امکان رسم خط تأثیر برای هر پارامتر دیگری فراهم می شود. به عنوان مثال، فرض کنید هدف ما ترسیم خط تأثیر نیروی برشی و گشتاور خمشی در نقطه C از یک تیر ساده (تصویر زیر) است.

به این منظور، ابتدا یک واحد نیروی رو به پایین را در نقطه D (نقطه دلخواه) به تیر اعمال کرده و قید تیر در نقطه C را حذف می کنیم.

به این تریب، تیر به دو بخش AC و CB تقسیم می شود. این شرایط بارگذاری را به عنوان سیستم شماره 1 در نظر می گیریم.

با توجه به سیستم شماره 1، دو نیروی VC در نقطه C و خلاف جهت یکدیگر به تیر اعمال می شوند. یک واحد جابه جایی ناشی از این نیروهای برشی را در نقطه C به بخش های AC و CB اعمال می کنیم.

به این ترتیب، سیستم شماره 2 مطابق با تصویر زیر خواهد بود. توجه داشته باشید که جابه جایی در نقطه C به گونه ای اعمال می شود که هیچ دوران نسبی بین AC و CB وجود نداشته باشد. این فرض برای جلوگیری از انجام هر گونه کار مجازی ناشی از گشتاور MC است.

اکنون بر اساس قضیه کار مجازی داریم:

• (VC)(ΔCA+ΔCB)+(1)(-ΔD)=0.
• (VC)(1)-ΔD=0.
• VC=ΔD.

به عبارت دیگر، نیروی برشی ایجاد شده در نقطه C یا VC بر اثر اعمال یک واحد نیرو در نقطه D، با جابه جایی نقطه D در اثر اعمال یک واحد جابه جایی به نقطه C برابر است.

از این رو، خط چین تغییر شکل در سیستم شماره 2، خط تأثیر نیروی برشی VC را نمایش می دهد. به همین صورت، برای ترسیم خط تأثیر گشتاور خمشی MC، باید یک واحد دوران را در نقطه C (دوران نسبت به AC و CB) اعمال کنیم.

اگرچه، به منظور جلوگیری از ایجاد کار مجازی ناشی از VC، نیازی به جابه جای نسبی بین AC و BC (مانند حالت قبل) نخواهد بود.

به این ترتیب، بر اساس قضیه کار مجازی خواهیم داشت:

• (MC)(θCA+θCB)+(1)(-ΔD)=0.
• (MC)(1)-ΔD=0.
• MC=ΔD.

خط چین سیستم شماره 2 برای گشتاور خمشی، خط تأثیر گشتاور خمشی MC را نمایش می دهد.