تعریف معادله شرودینگر و شکل های مختلف آن

فیزیکدان مشهور اتریشی به نام اروین شرودینگر (Erwin Schrödinger)، نظریه مکانیک کوانتومی را که تازه پای به عرصه نهاده بود به مفید ترین شکل ممکن به علم شیمی و شیمیدانان ارائه نمود.

در واقع معادله شرودینگر یک معادله موج ریاضی می باشد که در آن چگونگی تغییر حالت کوانتومی یک سیستم فیزیکی را با توجه به زمان نشان می دهد.

تاریخچه:
همانطور که در مقاله کوانتوم بیان شد، ذرات ماده نیز همانند نور، رفتار دوگانه موجی-ذره ای از خود نشان می دهند. شرودینگر بیان کرد که اگر ذرات ماده نیز رفتار موج مانند دارند، بنابراین یک معادله موج برای توصیف رفتار این ذرات وجود خواهد داشت که بر اساس آن می توان رفتار پدیده ها را توصیف کرد.

سرانجام شرودینگر در اواسط سال 1926 موفق شد تا معادله موج ماده را پیدا کند. این معادله به نام معادله موجی شرودینگر شناخته می شود.

در فیزیک کلاسیک، معادله حرکت قانون دوم نیوتن می باشد. در اینجا برای حل حرکت یک سیستم فیزیکی و پیشگویی و چگونگی حرکت آن، ابتدا معادله حرکت ذره مورد نظر را پیدا می کنند. در واقع فیزیک کلاسیک بر پایه قوانین نیوتن و همچنین ذرات ماکروسکوپی مورد بحث و بررسی قرار می گیرد.

فیزیک کووانتومی برخلاف فیزیک کلاسیک، بر روی ذرات میکروسکوپی (مولکولی، اتمی و زیر اتمی مانند الکترون ها) مطالعه می کند. در واقع این معادله در فیزیک کوانتومی مشابه قانون دوم نیوتن در فیزیک کلاسیک، برای یک سیستم کوانتومی در نظر گرفته می شود. در تفسیر استاندارد از فیزیک کوانتومی می توان گفت که تابع موج کامل ترین توضیحی است که در مورد یک سیستم فیزیکی می توان داد.

معادله موجی شرودینگر به عنوان معادله اصلی در فیزیک کوانتوم شناخته می شود. بنابراین همان نقشی را که قانون دوم نیوتن به عنوان معادله پایه در فیزیک کلاسیک ایفا می کند را در فیزیک کوانتوم دارد. در واقع ساختار ریاضی نهایی فیزیک کوانتم با کشف معادله شرودینگر تا حد زیادی کامل شد.

لازم به ذکر است که معادله موجی شرودینگر یک رابطه ریاضی ساده نیست. در واقع این معادله، یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دو می باشد که توصیف رفتار ذرات کوانتومی که در یک میدان پتانسیل مشخص در حرکت می باشند را بر عهده دارد.

خصوصیات معادلات شرودینگر:
این معادله نسبت به مشتق زمان از مرتبه اول می باشد، بنابراین زمانیکه مقدار اولیه تابع موج یک ذره را در یک زمان مشخص داشته باشیم (مثلا در لحظه t=0)، مقدار آن را در هر لحظه دیگر نیز می توان به دست آورد. همچنین در معادله شرودینگر عدم قطعیت وجود ندارد.

در واقع همین که حالت اولیه تابع موج مشخص باشد، در هر زمان دیگری، تابع موج کاملا مشخص می گردد. لازم به ذکر است که برای هر سیستمی یک معادله شرودینگر مخصوص وجود دارد که وابسته به هامیلتونی تعریف شده برای آن سیستم می باشد.

شکل های مختلف معادله شرودینگر:
حالت هر سیستم در کوانتوم را با یک تابع موج یا تابع حالت نشان می دهند که در حالت کلی تابع دو پارامتر مکان و زمان می باشد. تابع موج تمام اطلاعات قابل اندازه گیری سیستم را دارد. برای اینکه بتوانیم از حالت فعلی یک سیستم میکروسکوپی به حالت بعدی آن برویم، به یک معادله نیاز داریم که توسط شرودینگر ارائه شده است.

معادله شرودینگر در حقیقت نوعی تابع موج می باشد. در این بخش، شکل ریاضی نسبتا پیچیده آن را مشاهده می کنید.

که در آن \psi تابع موج سیستم، (x, y, z) نشان دهنده موضع الکترون در فضا، m جرم الکترون، h ثابت پلانک، E انرژی کل سیستم (سینتیک و پتانسیل) و V انرژی پتانسیل می باشد.

رابطه وابسته به زمان شرودینگر (یک ذره غیر نسبیتی):
که در آن \psi تابع موج سیستم، i واحد موهومی، ћ ثابت کاهیده پلانک، 2\bigtriangledown لاپلاسین، m جرم ذره و V انرژی پتانسیل می باشد. بر طبق این معادله انرژی کل سیستم برابر با مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل می باشد.

این معادله برای تک ذره که در میدان الکتریکی (نه میدان مغناطیسی) در حرکت است استفاده می شود. با توجه به معادله مشخص می شود که اگر تابع موج سیستم را در زمان حال بدانیم، با استفاده از این معادله می توان تابع موج آینده سیستم را در هر زمانی به دست آورد.

معادله عمومی مستقل از زمان شرودینگر:
معادله مستقل از زمان شرودینگر حالت های پایا یا ثابت را توصیف می کند. زیرا در سیستم های پایسته، انرژی پتانسیل فقط تابع فاصله می باشد. در واقع این رابطه فقط زمانی کاربرد دارد که هامیلتونی وابسته به زمان نباشد.که در آن \psi تابع موج سیستم، H عملگر هامیلتونی و E انرژی کل سیستم (سینتیک و پتانسیل) می باشد.

معادله مستقل از زمان شرودینگر (یک ذره غیر نسبیتی):
که در آن \psi تابع موج سیستم، ћ ثابت کاهیده پلانک، 2\bigtriangledown لاپلاسین، m جرم ذره، E انرژی کل سیستم (سینتیک و پتانسیل) و V انرژی پتانسیل می باشد. این معادله در واقع مشهورترین شکل معادله شرودینگر غیر نسبیتی برای یک تک ذره متحرک در میدان الکتریکی (نه مغناطیسی) می باشد.

کاربرد معادلات شرودینگر:
از حل معادلات شرودینگر تابع موج مربوط به هر سیستم فیزیکی و چگونگی تفسیر پویای آن با زمان به دست می آید. در نتیجه با کمک تابع موج، چگالی احتمال را محاسبه کرده و در نهایت حرکت ذرات سیستم را مورد بررسی قرار می دهند.

معادلات شرودینگر کوانتیده بودن خواص مشخصی از سیستم که اندازه گیری شده است را پیش بینی می کند (مانند کوانتیده بودن انرژی). از طرفی با حل این معادله می توان ترازهای انرژی، اندازه حرکت خطی و اندازه حرکت زاویه ای سیستم را تعیین کرد. همچنین با کمک معادلات شرودینگر تونل زنی کوانتومی توجیه شد.

می توان گفت که این معادله دیدگاه فیزیکدانان را نسبت به اتم نیز تغییر داد، بنابراین مدل اتمی بسیار کامل تری را نسبت به مدل اتمی بوهر ارائه کرد. در واقع شرودینگر بر اساس رفتار دوگانه موجی-ذره ای الکترون ها و تأکید بر رفتار موجی آنها، از احتمال حضور الکترون ها در فضای سه بعدی به جای محدود کردن آنها در یک مدار بسته صحبت کرد. به این فضای سه بعدی که احتمال حضور الکترون ها در آن زیاد است اوربیتال می گویند. بنابراین این مدل اتمی با نام مدل اربیتالی شناخته می شود.

از نظر شرودینگر همانطور که در فیزیک کلاسیک برای پیدا کردن یک جسم در فضا به سه مولفه (طول، عرض و ارتفاع) نیاز است، برای مشخص کردن اوربیتال یک اتم نیز به 3 عدد کوانتمی احتیاج می باشد.

این سه عدد کوانتومی عبارتند از: عدد کوانتومی اصلی (n)، عدد کوانتومی اوربیتالی یا فرعی (L) و عدد کوانتومی مغناطیسی (mL). البته سایر دانشمندان عدد کوانتومی چهار یا عدد کوانتومی اسپینی (mS) را به سه عدد کوانتومی قبلی اضافه کردند. در واقع با حل کردن معادلات شرودینگر برای هر اتم، می توان ویژگی های اوربیتال های اتمی آن اتم را بررسی کرد.